第3章空间向量与立体几何1．空间向量基本定理设e1，e2，e3是空间中的三个不共面的单位向量，则(1)空间中任意一个向量v可以写成这三个向量的线性组合：v＝xe1＋ye2＋ze3.(2)上述表达式中的系数x，y，z由v唯一决定，即：如果v＝xe1＋ye2＋ze3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则x＝x′，y＝y′，z＝z′.2．空间向量的坐标运算公式(1)加减法：(x1，y1，z1)±(x2，y2，z2)＝(x1±x2，y1±y2，z1±z2)．(2)与实数的乘法：a(x，y，z)＝(ax，ay，az)．(3)数量积：设v＝(x，y，z)，则|v|＝.(4)向量的夹角：cosθ＝＝.3．空间向量在立体几何中的应用设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，ν，则线线平行l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R线面平行l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0面面平行α∥β⇔u∥v⇔u＝kv，k∈R线线垂直l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0线面垂直l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R面面垂直α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0线线夹角l，m的夹角为θ，cosθ＝线面夹角l，α的夹角为θ，sinθ＝面面夹角α，β的夹角为θ，cosθ＝其中，线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合．空间向量与空间位置关系[例1]如图所示，已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA＝AD，M，N分别为AB，PC的中点．求证：(1)MN∥平面PAD；(2)平面PMC⊥平面PDC.[证明]如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz.设PA＝AD＝a，AB＝b.则有，(1)P(0,0，a)，A(0,0,0)，D(0，a,0)，C(b，a,0)，B(b,0,0)． M，N分别为AB，PC的中点，∴M，N.∴MN＝，AP＝(0,0，a)，AD＝(0，a,0)，∴MN＝AD＋AP.又 MN⊄平面PAD，∴MN∥平面PAD.(2)由(1)可知：PC＝(b，a，－a)，PM＝，PD＝(0，a，－a)．设平面PMC的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则∴令z1＝b，则n1＝(2a，－b，b)．设平面PDC的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则∴令z2＝1，则n2＝(0,1,1)， n1·n2＝0－b＋b＝0，∴n1⊥n2.∴平面PMC⊥平面PDC.(1)用向量法证明立体几何中的平行或垂直问题，主要应用直线的方向向量和平面的法向量，同时也要借助空间中已有的一些关于平行或垂直的定理．(2)用向量法证明平行或垂直的步骤：①建立空间图形与空间向量的关系(通过取基或建立空间直角坐标系的方法)，用空间向量或以坐标形式表示问题中涉及的点、直线和平面；②通过向量或坐标，研究向量之间的关系；③根据②的结论得出立体几何问题的结论．(3)在用向量法研究线面平行或垂直时，上述判断方法不唯一，如果要证直线l∥平面α，只需证l＝λa，l⊄α，其中l是直线l的方向向量，a⊂α；如果要证l⊥α，只需在平面α内选取两个不共线向量m，n，证明即可．1.如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.证明：法一：设A1B1＝a，A1D1＝b，A1A＝c，则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，A1O＝A1A＋AO＝A1A＋(AB＋AD)＝c＋(a＋b)，BD＝AD－AB＝b－a，OG＝OC＋CG＝(AB＋AD)＋CC1＝(a＋b)－c，∴A1O·BD＝·(b－a)＝c·(b－a)＋(a＋b)·(b－a)＝c·b－c·a＋(b2－a2)＝(|b|2－|a|2)＝0，∴A1O⊥BD.∴A1O⊥BD.同理可证A1O⊥OG.∴A1O⊥OG.又OG∩BD＝O，∴A1O⊥平面GBD.法二：如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(2，2,0)，A1(2,0,2)，G(0,2,1)，O(1，1,0)，所以A1O＝(－1,1，－2)，DB＝(2,2,0)，DG＝(0,2,1)，则A1O·DB＝(－1,1，－2)·(2,2,0)＝0，A1O·DG＝(－1,1，－2)·(0,2,1)＝0，所以A1O⊥DB，A1O⊥DG.即A1O⊥DB，A1O⊥DG.又DB∩DG＝D，故A1O⊥平面GBD.法三：以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，A1(2,0,2)，G(0,2,1)，O(1,1,0)，所以A1O＝(－1,1，－2)，DB＝(2,2,0)，DG＝(0,2,1)．设向量n＝(x，y，z)为平面GBD的一个法向量，则n⊥DB，n⊥DG.即n·DB＝0，n·DG＝0.所以令x＝1，则y＝－1，z＝2，所以n＝(1，－1,2)．所以A1O＝－n.即A1O∥n.所以A1O⊥平面GBD.2.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点．(1)用向量法证明平面A1BD∥平面B1CD1；(2)用...
