3．8共面与平行[读教材·填要点]1．共面(1)如果若干个图形在同一个平面内，就称这些图形共面．(2)A，B，C，D共面⇔直线AD在平面ABC内⇔AD⊥n(其中n为平面ABC的法向量)．2．直线与平面共面或平行的判定一般地，设n是平面α的一个法向量，v是直线l的方向向量，则v⊥n⇔l∥α或l⊂α.如果v⊥n且l上至少有一点A∈α，则l⊂α.如果v⊥n且l上至少有一点A∉α，则l∥α.[小问题·大思维]若直线l的方向向量为u＝(－3,4,2)，平面α的一个法向量为v＝(2,2，－1)，那l与α的位置关系是什么？提示： u·v＝(－3,4,2)·(2,2，－1)＝－6＋8－2＝0，∴u⊥v.∴l∥α或l⊂α.四点共面问题判断A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)四点是否共面，并说明理由．[自主解答] A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，∴AB＝(3,4,5)，AC＝(1,2,2)设平面ABC的法向量n＝(x，y，z)，则n·AB＝0，且n·AC＝0，即∴x＋z＝0.令x＝1，则z＝－1，y＝，∴n＝.又 D(10,14,17)，∴AD＝(9,14,16)，∴AD·n＝(9,14,16)·＝9×1＋14×－16＝0，∴n⊥AD.又 A∈平面ABC，∴AD⊂平面ABC，∴A，B，C，D四点共面．(1)A，B，C，D共面⇔直线AD在平面ABC内⇔AD⊥n.(2)(共面向量定理)如果A，B，C三点不共线，则点M在平面ABC内的充分必要条件是，存在一对实数x，y，使向量表达式AM＝xAB＋yAC成立．1．空间直角坐标系中，已知A(3,0,0)，B(0,4,0)，C(0,0,2)，P(x，y，z)是平面ABC内任意一点，试求x，y，z满足的方程．解： A(3,0,0)，B(0,4,0)，C(0,0,2)，∴AB＝(－3,4,0)，AC＝(－3,0,2)．设n＝(x，y，z)为平面ABC的一个法向量，则n·AB＝0，且n·AC＝0，∴令x1＝4，则y1＝3，z1＝6，即n＝(4,3,6)．又 P(x，y，z)在平面ABC内，∴AP·n＝0，即(x－3，y，z)·(4,3,6)＝0，∴4x－12＋3y＋6z＝0，即4x＋3y＋6z＝12.证明线面平行、面面平行已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.[自主解答]如图所示建立空间直角坐标系Dxyz，则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，C1(0,2,2)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，所以FC1＝(0,2,1)，DA＝(2,0,0)，AE＝(0,2,1)．(1)设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n1⊥DA，n1⊥AE，即得令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2)．因为FC1·n1＝－2＋2＝0，所以FC1⊥n1.又因为FC1⊄平面ADE，所以FC1∥平面ADE.(2) C1B1＝(2,0,0)，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量．则n2⊥FC1，n2⊥C1B1，即得令z2＝2得y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2)．因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.(1)用向量法证明线面平行：一是证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；二是证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量且直线不在平面内；三是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．(2)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．2.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM∥平面BDE.证明：建立如图所示的空间直角坐标系．设AC∩BD＝N，连接NE，则点N，E的坐标分别是，(0,0,1)．∴NE＝.又点A，M的坐标分别是(，，0)，，∴AM＝.∴NE＝AM，且A∉NE，∴NE∥AM.又 NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE.解题高手多解题条条大路通罗马，换一个思路试一试如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.[证明]法一：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M，N，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，于是MN＝，DA1＝(1,0,1)．得DA1＝2MN，又M∉DA1，∴DA1∥MN.而MN⊄平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.法二：如法一中的坐标系，B(1,1,0)．设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)，则n·DA1＝0，且n·DB＝0，得取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)．又MN·n＝·(1，－1，－1)＝0，∴MN⊥n.又MN⊄平面A1BD.∴MN∥平面A1BD.法三： MN＝C1N－C1M＝C1B1－C1C＝(D1A1－D1D)＝DA1，∴MN∥DA1.而MN⊄平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.[点评]证明线面平行的方...
