3．3直线的方向向量[读教材·填要点]1．直线的方向向量一般地，如果向量v≠0与直线l平行，就称v为l的方向向量．2．直线的方向向量的应用(1)两条直线垂直⇔它们的方向向量垂直．(2)要证明两条直线平行，只要证明这两条直线不重合，并且它们的方向向量AB与CD平行，也就是证明其中一个方向向量是另一个方向向量的实数倍：CD＝kAB(k是某个实数)．(3)求两条异面直线AB，CD所成的角．若两条异面直线AB，CD所成的角为α，AB，CD所成的角为α1，则cosα＝|cos_α1|＝.[小问题·大思维]1．直线的方向向量是唯一的吗？若不唯一，直线的方向向量之间的关系是怎样的？提示：直线的方向向量不是唯一的，直线的不同的方向向量是共线向量．2．两条异面直线所成的角与它们的方向向量所成的角之间有什么关系？提示：相等或互补．求异面直线所成的角(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.B.C.D.[自主解答]以B1为坐标原点，B1C1所在的直线为x轴，垂直于B1C1的直线为y轴，BB1所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示．由已知条件知B1(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(1,0,0)，A(－1，，1)，则BC1＝(1,0，－1)，AB1＝(1，－，－1)．所以cos〈AB1，BC1〉＝＝＝.所以异面直线AB1与BC1所成的角的余弦值为.[答案]C利用向量求异面直线所成角的步骤为：(1)确定空间两条直线的方向向量；(2)求两个向量夹角的余弦值；(3)比较余弦值与0的大小，确定向量夹角的范围；(4)确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时，即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角．1.如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝.OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．求异面直线AB与MD所成角的大小．解：作AP⊥CD于点P.如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则A(0,0,0)，B(1,0,0)，D，M(0,0,1)．设AB和MD所成角为θ， AB＝(1,0,0)，MD＝，∴cosθ＝＝.∴θ＝.∴异面直线AB与MD所成角的大小为.证明线线垂直已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1.求证：AB1⊥MN.[自主解答]法一：(基向量法)设AB＝a，AC＝b，AA1＝c，则由已知条件和正三棱柱的性质，得|a|＝|b|＝|c|＝1，a·c＝b·c＝0，AB1＝a＋c，AM＝(a＋b)，AN＝b＋c，MN＝AN－AM＝－a＋b＋c，∴AB1·MN＝(a＋c)·＝－＋cos60°＋＝0.∴AB1⊥MN.∴AB1⊥MN.法二：(坐标法)设AB中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，以OB，OC，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得A，B，C，N，B1， M为BC中点，∴M.∴MN＝，AB1＝(1,0,1)，MN·AB1＝－＋0＋＝0.∴MN⊥AB1.∴AB1⊥MN.利用向量法证明空间两条直线互相垂直，其主要思路是证明两直线的方向向量相互垂直．(1)利用坐标法时要建立适当的空间直角坐标系，并能准确地写出相关点的坐标．(2)利用基向量法证明的关键是能用基向量正确表示出相关的向量．2．直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝1，AA1＝3，M是BC的中点．在DD1上是否存在一点N，使MN⊥DC1？并说明理由．解：如图所示，建立以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，则C1(0,2,3)，M，D(0,0,0)，设存在N(0,0，h)，则MN＝，DC1＝(0,2,3)，MN·DC1＝·(0,2,3)＝－4＋3h，∴当h＝时，MN·DC1＝0，此时MN⊥DC1，∴存在N∈DD1，使MN⊥DC1.解题高手妙解题什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路如图，已知空间四边形OABC各边都相等，E，F分别为AB，OC的中点，求OE与BF所成的角的余弦值．[巧思]求异面直线OE与BF所成的角，由于已知OA，OB，OC的长度及夹角，因此，可以用OA，OB，OC表示OE与BF，然后利用向量的夹角公式计算即可．[妙解]设OA＝a，OB＝b，OC＝c，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则a·b＝b·c＝c·a＝.又OE＝(a＋b)，BF＝c－b，|OE|＝|BF|＝.所以OE·BF＝(a＋b)·＝a·c－a·b＋b·c－|b|2＝－.所以cos〈OE，BF〉＝＝－.所以直线OE与BF所成角的余弦值为.1．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的...
