3．6直线与平面、平面与平面所成的角[读教材·填要点]1．直线与平面所成的角(1)定义：如果直线l与平面α垂直，l与平面α所成的角θ为直角，θ＝.如果直线l与平面α不垂直，则l在α内的射影是一条直线l′，将l与l′所成的角θ定义为l与平面α所成的角．(2)范围：θ∈.(3)计算：作直线l的方向向量v和平面α的法向量n，并且可选v与n所成的角θ1∈，则l与平面α所成的角θ＝－θ1，sinθ＝cos_θ1＝.2．二面角(1)定义：从一条直线l出发的两个半平面α，β组成的图形叫作二面角，记作αl-β.(2)二面角的平面角过二面角αlβ的棱l上任意一点O作垂直于棱l的平面，分别与两个面α，β相交得到两条射线OA，OB，则∠AOB称为二面角αlβ的平面角．(3)二面角的范围二面角的平面角的度数在0°～180°范围内，特别当二面角αlβ是90°时称它为直二面角，此时称两个面α，β相互垂直．3．两个平面所成的角两个相交平面，以交线为棱可以构成四个二面角，其中最小的一个二面角称为这两个平面所成的角，取值范围是.两个平行平面所成的角为0°.[小问题·大思维]1．当一条直线l与一个平面α的夹角为0时，这条直线一定在平面内吗？提示：不一定，这条直线可能与平面平行．2．设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a，平面α的法向量为n，如何用a和n求角θ？提示：sinθ＝|cos〈a，n〉|＝.3．二面角的法向量的夹角与二面角的平面角的大小有什么关系？提示：相等或互补．求直线与平面所成的角如图，在四棱锥PABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M，N分别为PC，PB的中点．求BD与平面ADMN所成的角θ.[自主解答]如图所示，建立空间直角坐标系，设BC＝1，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，则N(1,0,1)，∴BD＝(－2,2,0)，AD＝(0,2,0)，AN＝(1,0,1)．设平面ADMN的一个法向量为n＝(x，y，z)，则由得取x＝1，则z＝－1，∴n＝(1,0，－1)． cos〈BD，n〉＝＝＝－，∴sinθ＝|cos〈BD，n〉|＝.又0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.利用向量法求直线与平面所成角的步骤为：(1)确定直线的方向向量和平面的法向量；(2)求两个向量夹角的余弦值；(3)确定向量夹角的范围；(4)确定线面角与向量夹角的关系：向量夹角为锐角时，线面角与这个夹角互余；向量夹角为钝角时，线面角等于这个夹角减去90°.1.如图，在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB＝AC＝1，PA＝2.求直线PA与平面DEF所成角的正弦值．解：如图，以点A为原点，AB，AC，AP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Axyz.由AB＝AC＝1，PA＝2，得A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)，D，E，F.∴PA＝(0,0，－2)，DE＝，DF＝.设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)．则即解得取z＝1，则平面DEF的一个法向量为n＝(2,0,1)．设PA与平面DEF所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈PA，n〉|＝＝，故直线PA与平面DEF所成角的正弦值为.求二面角如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．(1)证明：O1O⊥底面ABCD.(2)若∠CBA＝60°，求二面角C1OB1D的余弦值．[自主解答](1)证明：因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，所以CC1⊥AC，DD1⊥BD，又CC1∥DD1∥OO1，所以OO1⊥AC，OO1⊥BD，因为AC∩BD＝O，所以O1O⊥底面ABCD.(2)因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，AC⊥BD.又O1O⊥底面ABCD，所以OB，OC，OO1两两垂直．如图，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．设棱长为2，因为∠CBA＝60°，所以OB＝，OC＝1，所以O(0,0,0)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)，平面BDD1B1的一个法向量为n＝(0,1,0)，设平面OC1B1的法向量为m＝(x，y，z)，则由m⊥OB1，m⊥OC1，所以取z＝－，则x＝2，y＝2，所以m＝(2,2，－)，所以cos〈m，n〉＝＝＝.由图形可知二面角C1OB1D的大小为锐角，所以二面角C1OB1D的余弦值为.利用法向量求二面角的步骤为：(1)确定两平面的法向量；(2)求两法向量的夹角的余弦值；(3)确定二面角的范围；(4)确定二面角与面面角的关系：二面角范围的确定要通过图形观察，...
