3.2立体几何中的向量方法第1课时空间向量与平行关系学习目标核心素养1．掌握直线的方向向量，平面的法向量的概念及求法．(重点)2．熟练掌握用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系．(重点、难点)1．通过平面法向量的学习，培养学生数学运算的核心素养．2．借助利用空间向量解决平行问题的学习，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养．1．直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量的定义直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个．(2)平面的法向量的定义直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则a叫做平面α的法向量．思考：直线的方向向量(平面的法向量)是否唯一？[提示]不唯一，直线的方向向量(平面的法向量)有无数个，它们分别是共线向量．2．空间中平行关系的向量表示线线平行设两条不重合的直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇒a∥b⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)线面平行设l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0面面平行设α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔u∥v⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)1．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为()A．(1,2,3)B．(1,3,2)C．(2,1,3)D．(3,2,1)A[AB＝(2,4,6)＝2(1,2,3)．]2．若平面α，β的一个法向量分别为m＝，n＝，则()A．α∥βB．α⊥βC．α与β相交但不垂直D．α∥β或α与β重合D[ n＝－3m，∴m∥n，∴α∥β或α与β重合．]3．已知u，v分别是平面α，β的法向量，则下列条件能使α与β垂直的是()A．u＝(－2,2,5)，v＝(6，－4,4)B．u＝(1,2，－2)，v＝(－2，－4,4)C．u＝(2，－3,5)，v＝(－3,1，－4)D．u＝(－2,1,4)，v＝(6,3,3)A[对于A，因为u·v＝0，∴u⊥v，∴α⊥β．对于B，u∥v，∴α∥β或α与β重合．对于C，u与v不垂直，也不平行，∴α与β相交．对于D，u与v不垂直，也不平行，∴α与β相交，故选A．]4．若直线l的方向向量a＝(2,2，－1)，平面α的法向量μ＝(－6,8,4)，则直线l与平面α的位置关系是________．l⊂α或l∥α[ μ·a＝－12＋16－4＝0，∴μ⊥a，∴l⊂α或l∥α．]利用方向向量和法向量判定线线、线面、面面的位置关系【例1】根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：(1)不重合的直线l1与l2的方向向量分别是a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)；(2)直线l1与l2的方向向量分别是a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)；(3)平面α与β的法向量分别是u＝(1，－1,2)，v＝；(4)平面α与β的法向量分别是u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2，1)；(5)直线l的方向向量、平面α的法向量分别是a＝(0，－8，12)，u＝(0,2，－3)．[解](1) a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)，∴a＝－b，∴a∥b，即l1∥l2．(2) a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)，∴a·b≠0且a≠kb(k∈R)，∴a，b既不共线也不垂直，即l1与l2相交或异面．(3) u＝(1，－1,2)，v＝，∴u·v＝3－2－1＝0，∴u⊥v，即α⊥β．(4) u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)，∴u·v≠0且u≠kv(k∈R)，∴u与v既不共线也不垂直，即α和β相交但不垂直．(5) a＝(0，－8,12)，u＝(0,2，－3)，∴u＝－a，∴u∥a，即l⊥α．1不重合的两直线的方向向量共线时，两直线平行；否则两直线相交或异面.2直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直.3两个平面的法向量共线垂直时，两平面平行或重合垂直；否则两平面相交但不垂直.[跟进训练]1．设平面α的法向量为(1,3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k)，若α∥β，则k＝________．4[ α∥β，∴(1,3，－2)＝λ(－2，－6，k)，∴∴λ＝－，k＝4．]求平面的法向量【例2】如图，已知ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，试建立适当的坐标系．(1)求平面ABCD的一个法向量；(2)求平面SAB的一个法向量；(3)求平面SCD的一个法向量．[解]以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图...
