3.1.3空间向量基本定理3.1.4空间向量的坐标表示学习目标核心素养1.掌握空间向量的基本定理及其推论，理解空间向量的正交分解，掌握用基底表示空间向量的方法．(重点、难点)2.理解空间向量坐标的定义，能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算，会根据向量的坐标运算判断两个空间向量平行．(重点)3.基向量的选取及应用．(易错点)1.借助空间向量的坐标运算，提升数学运算素养．2.通过空间向量基本定理的运用，培养数学抽象素养.1．空间向量基本定理如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使p＝xe1＋ye2＋ze3.2．基底、基向量在空间向量基本定理中，e1，e2，e3是空间不共面的三个向量，则把{e1，e2，e3}称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫做基向量.0不能作为基向量．3．正交基底、单位正交基底如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底．特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i，j，k}表示．4．空间向量基本定理的推论设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得OP＝xOA＋＋zOC.5．空间向量的坐标运算(1)空间向量的坐标在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则AB＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)；当空间向量a的起点移至坐标原点时，其终点坐标就是向量a的坐标．(2)空间向量的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．向量的加法a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)向量的减法a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数乘向量λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R向量平行a∥b(a≠0)⇔b1＝λa1，b2＝λa2，b3＝λa3，λ∈R思考：(1)零向量能不能作为一个基向量？(2)当基底确定后，空间向量基本定理中实数组{x，y，z}是否唯一？[提示](1)不能．因为0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面．(2)唯一确定．11．在长方体ABCDA1B1C1D1中，可以作为空间向量一个基底的是()A.AB，AC，ADB.AB，AA1，AB1C.D1A1，D1C1，D1DD.AC1，A1C，CC1C[由题意知，D1A1，D1C1，D1D不共面，可以作为空间向量的一个基底．]2．已知向量a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，则4a＋2b等于()A．(16,0,4)B．(8，－16,4)C．(8,16,4)D．(8,0,4)D[4a＝(12，－8,4)，2b＝(－4,8,0)，∴4a＋2b＝(8,0,4)．]3．设{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，b＝－2e1－3e2＋7e3，则a，b的坐标分别为________．a＝(4，－8,3)b＝(－2，－3,7)[由题意知a＝(4，－8，3)，b＝(－2，－3,7)．]4．设a＝(1,2,3)，b＝(－2,2，－2)，若(ka－b)∥(a＋b)，则k＝________.－1[ka－b＝k(1,2,3)－(－2,2，－2)＝(k＋2,2k－2,3k＋2)，a＋b＝(－1,4,1)． (ka－b)∥(a＋b)，∴＝＝3k＋2，解得k＝－1.]基底的判断【例1】(1)若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是________(填序号)．①{a，a＋b，a－b}；②{b，a＋b，a－b}；③{c，a＋b，a－b}；④{a＋b，a－b，a＋2b}．(2)若{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且向量OA＝2e1＋e2＋e3，OB＝e1－e2＋2e3，OC＝ke1＋3e2＋2e3不能作为空间的一组基底，则k＝________.[思路探究](1)看各组向量是否共面，共面不能作为基底，否则可作基底；(2)OA，OB，OC共面，利用共面向量定理求解．[解析](1)若c，a＋b，a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则a，b，c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a＋b，a－b可构成空间向量的一组基底．(2)因为OA，OB，OC不能作为空间向量的一组基底，故OA，OB，OC共面．由共面向量定理可知，存在实数x，y，使OC＝xOA＋yOB，即ke1＋3e2＋2e3＝x(2e1＋e2＋e3)＋y(e1－e2＋2e3)．故解得x＝，y＝－，k＝5.[答案](1)③(2)5基底的判断判断某一向量组能否作为基底，关键是判断它们是否共面．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断．用基底表示空间向量【例2】如图所示，空间四边形OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，试用向量a，b，c表示向2量GH.[思...
