3.1.5空间向量运算的坐标表示学习目标核心素养1．掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直．(重点)2．掌握空间向量的模，夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题．(重点、难点)1．通过空间向量的坐标运算及空间向量夹角及长度的学习，培养学生的数学运算核心素养．2．借助利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养．1．空间向量运算的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示：运算坐标表示加法a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)减法a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数乘λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R数量积a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b32．空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则平行(a∥b)a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔垂直(a⊥b)a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)模|a|＝＝夹角公式cos〈a，b〉＝＝思考：若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b一定有＝＝成立吗？[提示]当b1，b2，b3均不为0时，＝＝成立．3．向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则(1)AB＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)；(2)dAB＝|AB|＝．1．已知向量a＝(－3,2,5)，b＝(1,5，－1)，则4a＋2b等于()A．(10，－18，－18)B．(－10,18,18)C．(－14，－2,22)D．(－14,2，－22)B[ 4a＝(－12,8,20)，2b＝(2,10，－2)，∴4a＋2b＝(－10,18,18)．]2．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k＝()A．1B．C．D．D[ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，且(ka＋b)·(2a－b)＝3(k－1)＋2k－4＝0，解得k＝．]3．若A(－1,2,3)，B(2,1,4)，C(m，n,1)三点共线，则m＋n＝________．－3[AB＝(3，－1,1)，AC＝(m＋1，n－2，－2)． A，B，C三点共线，∴存在实数λ，使得AC＝λAB．即(m＋1，n－2，－2)＝λ(3，－1,1)＝(3λ，－λ，λ)，∴解得λ＝－2，m＝－7，n＝4．∴m＋n＝－3．]4．已知a＝(－，2，)，b＝(3，6,0)，则|a|＝________，a与b夹角的余弦值等于________．3[|a|＝＝＝3，cos〈a，b〉＝＝＝．]空间向量的坐标运算【例1】(1)若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)满足条件(c－a)·2b＝－2，则x＝________．(2)已知O是坐标原点，且A，B，C三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求适合下列条件的点P的坐标；①OP＝(AB－AC)；②AP＝(AB－AC)．(1)2[c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)，由(c－a)·2b＝－2得2(1－x)＝－2，解得x＝2．](2)解：AB＝(2,6，－3)，AC＝(－4,3,1)．①OP＝(AB－AC)＝(6,3，－4)＝，则点P的坐标为．②设P(x，y，z)，则AP＝(x－2，y＋1，z－2)． AP＝(AB－AC)＝，∴解得x＝5，y＝，z＝0，则点P的坐标为．1．一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．2．在确定了向量的坐标后，使用空间向量的加减、数乘、数量积的坐标运算公式进行计算就可以了，但要熟练应用下列有关乘法公式：(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2．[跟进训练]1．已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)．求：(1)a＋b；(2)a－b；(3)a·b；(4)2a·(－b)；(5)(a＋b)·(a－b)．[解](1)a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2,2)．(2)a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)＝(2－0，－1－(－1)，－2－4)＝(2,0，－6)．(3)a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7．(4) 2a＝(4，－2，－4)，∴2a·(－b)＝(4，－2，－4)·(0,1，－4)＝4×0＋(－2)×1＋(－4)×(－4)＝14．(5)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝4＋1＋4－(0＋1＋16)＝－8．利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题【例2】正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3B1P＝PD1，若PQ⊥AE，BD＝λDQ，求λ的值．思路探究：―→―→―→[解]如图所示，以D为原点，DA，DC，DD1的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(1,0,0)，E，B(1,1,0)，...
