3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示.学习目标核心素养1．了解空间向量基本定理及其意义．2．掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．(难点)3．掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法．(重点)1．通过基底概念的学习，培养学生数学抽象的核心素养．2．借助基底的判断及应用、空间向量的坐标运算，提升逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养．1．空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc．其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．思考：(1)零向量能不能作为一个基向量？(2)当基底确定后，空间向量基本定理中实数组{x，y，z}是否唯一？[提示](1)不能．因为0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面．(2)唯一确定．2．空间向量的正交分解及其坐标表示单位正交基底有公共起点O的三个两两垂直的单位向量，记作e1，e2，e3空间直角坐标系以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3，则把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)1．设{i，j，k}是单位正交基底，已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则向量p在基底{i，j，k}下的坐标是()A．(12,14,10)B．(10,12,14)C．(14,12,10)D．(4,3,2)A[依题意，知p＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k，故向量p在基底{i，j，k}下的坐标是(12,14,10)．]2．已知向量{a，b，c}是空间一个基底，则一定可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成空间另一个基底的是()A．aB．bC．cD．a·cC[p，q与a，b共面，a·c是一个数量．只有c不与p，q共面．]3．设{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，b＝－2e1－3e2＋7e3，则a，b的坐标分别为________．a＝(4，－8,3)b＝(－2，－3,7)[由题意知a＝(4，－8，3)，b＝(－2，－3,7)．]4．在长方体ABCDA1B1C1D1中，下列关于AC1的表达式中：①AA1＋A1B1＋A1D1；②AB＋DD1＋D1C1；③AD＋DD1＋D1C1；④(AB1＋CD1)＋A1C1．正确的个数有________个．3[AB＋DD1＋D1C1＝AB＋DC1＝AB＋AB1≠AC1，②不正确；(AB1＋CD1)＋A1C1＝(AB1＋BA1)＋A1C1＝AA1＋A1C1＝AC1，④正确；①③明显正确．]基底的判断【例1】(1)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间一个基底的向量组有()A．1个B．2个C．3个D．4个(2)已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且OA＝e1＋2e2－e3，OB＝－3e1＋e2＋2e3，OC＝e1＋e2－e3，试判断{OA，OB，OC}能否作为空间的一个基底．(1)C[如图所示，令a＝AB，b＝AA1，c＝AD，则x＝AB1，y＝AD1，z＝AC，a＋b＋c＝AC1．由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，故选C．](2)解：假设OA，OB，OC共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x，y使OA＝xOB＋yOC成立，∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)，即e1＋2e2－e3＝(y－3x)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3∴此方程组无解．即不存在实数x，y使得OA＝xOB＋yOC，所以OA，OB，OC不共面．所以{OA，OB，OC}能作为空间的一个基底．基底判断的基本思路及方法1基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底.2方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底.②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底.[跟进训练]1．若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为空间的一个基底．[解]假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，即a＋b＝μa＋λb＋(λ＋μ)c． {a，b...
