3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算学习目标核心素养1．理解空间向量的概念．(难点)2．掌握空间向量的线性运算．(重点)3．掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用．(重点、难点)1．通过空间向量有关概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养．2．借助向量的线性运算、共线向量及共面向量的学习，提升学生的直观想象和逻辑推理的核心素养．1．空间向量(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)长度或模：向量的大小．(3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：AB，其模记为|a|或|AB|．2．几类常见的空间向量名称方向模记法零向量任意00单位向量任意1相反向量相反相等a的相反向量：－aAB的相反向量：BA相等向量相同相等a＝b3．向量的加法、减法空间向量的运算加法OB＝OA＋OC＝a＋b减法CA＝OA－OC＝a－b加法运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)思考1：(1)空间中，a，b，c为不共面向量，则a＋b＋c的几何意义是什么？(2)平面向量的加减运算和空间向量的加减运算有什么联系？[提示](1)以a，b，c为相邻棱的平行六面体的体对角线．(2)任意两个向量都可平移到同一平面，故空间向量的加减运算与平面向量的加减运算类似．4．空间向量的数乘运算(1)定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍．(2)运算律：①λ(a＋b)＝λa＋λb；②λ(μa)＝(λμ)a．5．共线向量和共面向量(1)共线向量①定义：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．②共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb．③点P在直线AB上的充要条件：存在实数t，使OP＝OA＋tAB．(2)共面向量①定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．②共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb．③空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使AP＝xAB＋yAC或对空间任意一点O，有OP＝OA＋xAB＋yAC．思考2：(1)空间中任意两个向量一定是共面向量吗？(2)若空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，满足OP＝OA＋OB＋OC，则点P与点A，B，C是否共面？[提示](1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面的两个向量，因此一定是共面向量．(2)由OP＝OA＋OB＋OC得OP－OA＝(OB－OA)＋(OC－OA)即AP＝AB＋AC，因此点P与点A，B，C共面．1．如图所示，在四棱柱ABCDA1B1C1D1所有的棱中，可作为直线A1B1的方向向量的有()A．1个B．2个C．3个D．4个D[共四条：AB，A1B1，CD，C1D1．]2．已知空间四边形ABCD中，AB＝a，CB＝b，AD＝c，则CD＝()A．a＋b－cB．－a－b＋cC．－a＋b＋cD．－a＋b－cC[CD＝CB＋BA＋AD＝CB－AB＋AD＝－a＋b＋c．]3．在三棱锥ABCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则AB＋BC－DE－AD化简的结果为________．0[延长DE交边BC于点F，则有AB＋BC＝AF，DE＋AD＝AD＋DF＝AF，故AB＋BC－DE－AD＝0．]4．在三棱锥ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，则AF－(AB＋AC)的化简结果为________．EF[(AB＋AC)＝AE，AF－(AB＋AC)＝AF－AE＝EF．]空间向量的有关概念【例1】(1)给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；②若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|；③在正方体ABCDA1B1C1D1中，AC＝A1C1；④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p．其中正确命题的序号是________．(2)如图所示，在平行六面体ABCDA′B′C′D′中，顶点连接的向量中，与向量AA′相等的向量有________；与向量A′B′相反的向量有________．(要求写出所有适合条件的向量)(1)②③④(2)BB′，CC′，DD′B′A′，BA，CD，C′D′[(1)对于①，向量a与b的方向不一定相同或相反，故①错；对于②，根据相反向量的定义知|a|＝|b|，故②正确；对于③，根据相等向量的定义知，AC＝A1C1...
