3.3.2函数的极值与导数学习目标核心素养1．了解极值的概念，理解极值与导数的关系．(难点)2．掌握利用导数求函数极值的步骤，能熟练地求函数的极值．(重点)3．会根据函数的极值求参数的值．(难点)1．通过学习极值的概念，培养学生数学抽象与直观想象的素养．2．借助极值的求法，提升逻辑推理与数学运算的素养.1．极值点与极值的概念(1)极小值点与极小值如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)极大值点与极大值如(1)中图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．思考：区间[a，b]的端点a，b能作为极大值点或极小值点吗？[提示]不能，极大值点和极小值点只能是区间内部的点．2．极值的定义(1)极小值点、极大值点统称为极值点．(2)极大值与极小值统称为极值．3．求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值.(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．1．函数y＝x3＋1的极大值是()A．1B．0C．2D．不存在D[y′＝3x2≥0，则函数y＝x3＋1在R上是增函数，不存在极大值．]2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点C[当f′(x)的符号由正变负时，f(x)有极大值，当f′(x)的符号由负变正时，f(x)有极小值．由函数图象易知，函数有两个极大值点，两个极小值点．]3．下列说法不正确的是()A．函数y＝x2有极小值B．函数y＝sinx有无数个极值C．函数y＝2x没有极值D．x＝0是函数y＝x3的极值点D[ y＝x3，∴y′＝3x2≥0，∴y＝x3无极值．(或者直接观察图象可知A，B，C正确，D错误)]求函数的极值【例1】求函数f(x)＝x2e－x的极值．[解]函数的定义域为R，f′(x)＝2xe－x＋x2·e－x·(－x)′＝2xe－x－x2e－x＝x(2－x)e－x.令f′(x)＝0，得x(2－x)e－x＝0，解得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)↘极小值0↗极大值4e－2↘因此当x＝0时，f(x)有极小值，并且极小值为f(0)＝0；当x＝2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(2)＝4e－2＝.求函数极值和极值点的四步骤1确定函数的定义域；2求方程f′x＝0的根；3用方程f′x＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格；4由f′x在方程f′x＝0的根左右的符号，来判断fx在这个根处取极值的情况.[跟进训练]1．求下列函数的极值点和极值．(1)f(x)＝x3－x2－3x＋3；(2)f(x)＝＋3lnx.[解](1)f′(x)＝x2－2x－3.令f′(x)＝0，得x＝3或x＝－1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示：x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗所以x＝－1是函数f(x)的极大值点，且f(x)极大值＝，x＝3是函数f(x)的极小值点，且f(x)极小值＝－6.(2)函数f(x)＝＋3lnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＋＝，令f′(x)＝0，得x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示：x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘极小值↗所以x＝1是函数f(x)的极小值点，且f(x)极小值＝3，无极大值点及无极大值．已知函数极值求参数【例2】已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.(1)试求常数a，b，c的值；(2)试判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由．[解](1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)， x＝±1是函数的极值点，∴x＝±1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根．由根与系数的关系，得又 f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.③由①②③解得a＝，b＝0，c＝－.(2)由(1)得f(x)＝x3－x，∴f′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)．令f′(x)>0，得x<－1或x>1；令...
