3.3.3函数的最大(小)值与导数学习目标核心素养1．能够区分极值与最值两个不同的概念．(易混点)2．掌握在闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)的求法．(重点)3．能根据函数的最值求参数的值．(难点)1．通过学习导数与最值的关系，培养学生数学直观的素养．2．借助函数最值的求法，提升逻辑推理和数学运算的素养.1．函数f(x)在区间[a，b]上的最值如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值和最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点取得．思考：若函数f(x)在区间[a，b]上只有一个极大值点x0，则f(x0)是函数f(x)在区间[a，b]上的最大值吗？[提示]根据极大值和最大值的定义知，f(x0)是函数f(x)在区间[a，b]上的最大值．2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．下列说法正确的是()A．函数的极大值就是函数的最大值B．函数的极小值就是函数的最小值C．函数的最值一定是极值D．在闭区间上的连续函数一定存在最值D[极值有可能是最值，但最值未必是极值，故选D．]2．函数y＝x－sinx，x∈的最大值是()A．π－1B．－1C．πD．π＋1C[y′＝1－cosx>0，故函数y＝x－sinx，x∈是增函数，因此当x＝π时，函数有最大值，且ymax＝π－sinπ＝π.]3．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是()A．－2B．0C．2D．4C[f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0得x＝0或x＝2.由f(－1)＝－2，f(0)＝2，f(1)＝0得f(x)max＝f(0)＝2.]求函数的最值【例1】求下列各函数的最值．(1)f(x)＝2x3－3x2－12x＋5，x∈[－2,1]；(2)f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2,5]．[解](1)f′(x)＝6x2－6x－12，令f′(x)＝0得x＝－1或x＝2，又x∈[－2,1]，故x＝－1，且f(－1)＝12.又因为f(－2)＝1，f(1)＝－8，所以，当x＝－1时，f(x)取最大值12；当x＝1时，f(x)取最小值－8.(2) f(x)＝3ex－exx2，∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)＝－ex(x2＋2x－3)＝－ex(x＋3)(x－1)． 在区间[2,5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)＜0，即函数f(x)在区间[2,5]上单调递减，∴x＝2时，函数f(x)取得最大值f(2)＝－e2；x＝5时，函数f(x)取得最小值f(5)＝－22e5.求函数在闭区间上最值的步骤1求f′x，解方程f′x＝0；2确定在闭区间上方程f′x＝0的根；3求极值、端点值，确定最值.[跟进训练]1．求函数f(x)＝x＋sinx，x∈[0,2π]上的最大值和最小值．[解]f′(x)＝＋cosx，令f′(x)＝0，且x∈[0,2π]，解得x＝或x＝.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x02πf′(x)＋0－0＋f(x)0↗极大值↘极小值↗π＋－∴当x＝0时，f(x)有最小值，为f(0)＝0；当x＝2π时，f(x)有最大值，为f(2π)＝π.由函数的最值求参数【例2】已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．[解]由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾．求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．(1)当a>0时，且x变化时f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－1(－1,0)0(0,2)2f′(x)＋0－f(x)－7a＋b↗b↘－16a＋b由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3
f(－1)，∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.已知函数最值求参数值范围的思路已知函数在某区间上的最值求参数的值范围是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，用参数表示出最值后求参数的值或范围.[跟进训练]2．设
