3.3导数在研究函数中的应用3.3.1函数的单调性与导数学习目标核心素养1．理解函数的单调性与导数的关系．(重点)2．能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其他函数的单调区间．(重点)3．能根据函数的单调性求参数．(难点)1．通过学习函数单调性与导数的关系，培养学生数学抽象与直观想象的素养．2．借助导数求函数的单调性，培养逻辑推理和数学运算的素养.1．函数的单调性与导数的关系(1)在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：导数函数的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减f′(x)＝0常函数(2)在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：函数的单调性导数单调递增f′(x)≥0单调递减f′(x)≤0常函数f′(x)＝0思考：在区间(a，b)内，函数f(x)单调递增是f′(x)>0的什么条件？[提示]必要不充分条件．2．函数的变化快慢与导数的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些．1．函数y＝x3＋x的单调递增区间为()A．(0，＋∞)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(－∞，＋∞)D[y′＝3x2＋1>0，故选D．]2．函数f(x)＝2x－sinx在(－∞，＋∞)上()A．增函数B．减函数C．先增后减D．先减后增A[ f(x)＝2x－sinx，∴f′(x)＝2－cosx>0，∴f(x)在R上是增函数．]3．若函数f(x)的导数f′(x)＝x(x－2)，则f(x)在区间________上单调递减．[0,2][ f′(x)＝x(x－2)，由f′(x)≤0得，0≤x≤2，∴f(x)在[0,2]上单调递减．]导数与函数图象的关系【例1】(1)f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()(2)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是图中的()(1)D(2)C[(1)由f′(x)>0(f′(x)<0)的分界点判断原函数在此分界点两侧的图象的上升和下降趋势．由已知可得x的取值范围和f′(x)的正、负，f(x)的增减变化情况如下表所示：x(－∞，0)(0,2)(2，＋∞)f′(x)＋－＋f(x)↗↘↗由表可知f(x)在(－∞，0)内递增，在(0,2)内递减，在(2，＋∞)内递增，满足条件的只有D，故选D．(2)由函数y＝f(x)的图象的增减变化趋势判断函数y＝f′(x)的正、负情况如下表：x(－1，b)(b，a)(a,1)f(x)↘↗↘f′(x)－＋－由表可知函数y＝f′(x)的图象，当x∈(－1，b)时，函数图象在x轴下方；当x∈(b，a)时，函数图象在x轴上方；当x∈(a,1)时，函数图象在x轴下方．故选C．]对于原函数图象，要看其在哪个区间内单调递增，则在此区间内导数值大于零.在哪个区间内单调递减，则在此区间内导数值小于零.根据导数值的正负可判定导函数图象.[跟进训练]1．函数y＝f(x)在定义域内可导，其图象如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)<0的解集为__________．(2,3)∪[根据导数和图象单调性的关系知当x(2,3)∈∪时f′(x)<0.]利用导数求函数的单调区间【例2】求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝3x2－lnx；(2)f(x)＝－ax3＋x2＋1(a≤0)．[思路点拨]―→―→―→[解](1)函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝6x－＝，令f′(x)>0，则>0.又x>0，则6x2－1>0，解得x>.所以函数的单调增区间为.令f′(x)<0，则<0，解得00，则－ax2＋2x>0，解得x>0或x<，所以函数的单调增区间为，(0，＋∞)．令f′(x)<0，则－ax2＋2x<0，解得0和f′x<0；4根据3的结果确定函数fx的单调区间.提醒：如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开.[跟进训练]2．求下列函数的单调区间：(1...
