3.1变化率与导数3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念学习目标核心素养1.了解导数概念的实际背景．(难点)2.会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点)3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点、难点)1．通过学习导数概念，培养学生数学抽象的素养.2.借助导数的定义求函数在某点的导数，培养数学运算的素养.1．函数的平均变化率(1)定义式：＝.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变化率＝表示割线P1P2的斜率．思考：Δx，Δy的取值一定是正数吗？[提示]Δx≠0，Δy∈R.2．函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率(1)定义式：lim＝lim.(2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值．(3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢．3．函数f(x)在x＝x0处的导数函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝lim＝lim.1．下列说法错误的是()A．函数的平均变化率可以大于零B．函数的平均变化率可以小于零C．函数的平均变化率可以等于零D．函数的平均变化率不能等于零D[函数的平均变化率为，显然其值是可正、可负、可为零的，故选D．]2．已知函数f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为()A．0.40B．0.41C．0.43D．0.44B[Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2.12－4＝0.41.]3．一物体的运动方程是s＝3＋t2，则在一小段时间[2,2.1]内的平均速度为()A．0.41B．3C．4D．4.1D[＝＝4.1.]求函数的平均变化率【例1】(1)若函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则＝()A．4B．4xC．4＋2ΔxD．4＋2(Δx)2(2)汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为__________．(3)球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为__________．(1)C(2)<<(3)π[(1)Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－(2×12－1)＝2(Δx)2＋4Δx∴＝2Δx＋4，故选C．(2)由题意知，＝kOA，＝kAB，＝kBC．根据图象知<<.(3)ΔV＝π×23－π×13＝π.∴＝π.]1．求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1.第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)．第三步，求平均变化率＝.2．求平均变化率的一个关注点求点x0附近的平均变化率，可用的形式．[跟进训练]1．已知函数f(x)＝x＋，分别计算f(x)在[1,2]和[3,5]上的平均变化率，并比较两个区间上变化的快慢．[解]自变量x从1变化到2时，函数f(x)的平均变化率为＝＝.自变量x从3变化到5时，函数f(x)的平均变化率为＝＝.由于<，所以函数f(x)＝x＋在[3,5]的平均变化比在[1,2]的平均变化快．求瞬时速度【例2】一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2.(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度．[解](1)当t＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段[0,0＋Δt]，即[0，Δt]，∴Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02)＝3Δt－(Δt)2.∴＝＝3－Δt，lim＝lim(3－Δt)＝3.∴物体的初速度为3.(2)取一时间段[2,2＋Δt]，∴Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝[3(2＋Δt)－(2＋Δt)2]－(3×2－22)＝－Δt－(Δt)2，＝＝－1－Δt，lim＝lim(－1－Δt)＝－1，∴当t＝2时，物体的瞬时速度为－1.1．求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．(2)求平均速度＝.(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于常数v，即为瞬时速度．2．求(当Δx无限趋近于0时)的极限的方法(1)在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算．(2)求出的表达式后，Δx无限趋近于0就是令Δx＝0，求出结果即可．[跟进训练]2．一质点按规律s(t)＝at2＋2t＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在t＝1s时的瞬时速度为4m/s，求常数a的值．[解] Δs＝s(1＋Δt)－s(1)＝[a(1＋Δt)2＋2(1＋Δt)＋1]－(a＋3)＝a·(Δt)2＋(2a＋2)·Δt，∴＝a·Δt＋2a＋2.在t＝1s时，瞬时速度为lim＝2a＋2，即2a＋2＝4，∴a...
