3.2基本不等式与最大(小)值学习目标核心素养1.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．(重点)2．会用基本不等式解决实际问题．(重点、难点)1.通过利用基本不等式求解最值问题提升逻辑素养．2．利用基本不等式解决实际问题提升数学建模素养.不等式与最大(小)值阅读教材P90～P91“例2”以上部分，完成下列问题．x，y都为正数时，下面的命题成立(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值；(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2.思考：(1)函数y＝x＋的最小值是2吗？[提示]不是，只有当x＞0时，才有x＋≥2，当x＜0时，没有最小值．(2)设a＞0,2a＋取得最小值时，a的值是什么？[提示]2a＋≥2＝2，当且仅当2a＝，即a＝时，取得最小值．1．下列函数中，最小值为4的函数是()A．y＝x＋B．y＝sinx＋(0＜x＜π)C．y＝ex＋4e－xD．y＝log3x＋logx81C[A中x＝－1时，y＝－5＜4，B中y＝4时，sinx＝2，D中x与1的关系不确定，选C．]2．当x＞0时，x＋的最小值为________．6[因为x＞0，所以x＋≥2＝6，当且仅当x＝，即x＝3时等号成立．]3．当x∈(0,1)时，x(1－x)的最大值为________．[因为x∈(0,1)，所以1－x＞0，故x(1－x)≤2＝，当x＝1－x，即x＝时等号成立．]4．若点A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为________．8[由已知点A在直线mx＋ny＋1＝0上所以2m＋n＝1，所以＋＝＋＝4＋≥8.]利用基本不等式求最值【例1】(1)已知x>2，则y＝x＋的最小值为________．(2)若02，所以x－2>0，所以y＝x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6，当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立．所以y＝x＋的最小值为6.(2)因为00，所以y＝x·(1－2x)＝×2x×(1－2x)≤2＝×＝，当且仅当2x＝1－2x，即当x＝时，ymax＝.]在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件．1．(1)已知t>0，则函数y＝的最小值为________．(2)设00)的最小值是－2.(2)因为00，故ƒ(x)＝＝＝·≤×＝2，当且仅当2x＝8－2x，即x＝2时取等号，所以当x＝2时，ƒ(x)＝的最大值为2.]利用基本不等式解实际应用题【例2】如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(如图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌面积最小？[解]法一：设矩形广告牌的高为xcm，宽为ycm，则每栏的高和宽分别为(x－20)cm，cm，其中x>20，y>25，则两栏面积之和为2(x－20)×＝18000，由此得y＝＋25，所以广告牌的面积S＝xy＝2x＝＋25x，整理得S＝＋25(x－20)＋18500.因为x－20>0，所以S≥2＋18500＝24500.当且仅当＝25(x－20)时等号成立，此时有(x－20)2＝14400，解得x＝140，代入y＝＋25，得y＝175.即当x＝140，y＝175时，S取得最小值24500.故当广告牌的高为140cm，宽为175cm时，可使矩形广告牌的面积最小．法二：设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，则ab＝9000，其中a>0，b>0.易知广告牌的高为(a＋20)cm，宽为(2b＋25)cm.广告牌的面积S＝(a＋20)(2b＋25)＝2ab＋40b＋25a＋500＝18500＋25a＋40b≥18500＋2＝24500，当且仅当25a＝40b时等号成立，此时b＝a，代入ab＝9000得a＝120，b＝75.即当a＝120，b＝75时，S取得最小值24500.故当广告牌的高为140cm，宽为175cm时，可使矩形广告牌的面积最小．在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：(1)先理解题意，设变量时一般把要求最值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；(3)在定义域内，求出函数的最值；(4)写出正确答案．2．(1)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机...
