2.4.2圆的一般方程学习目标核心素养1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径．(重点)2.会在不同条件下求圆的一般方程．(重点)1.通过圆的一般方程的推导，提升逻辑推理、数学运算的数学素养.2.通过学习圆的一般方程的应用，培养数学运算的数学素养.(1)把(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开是一个什么样的关系式？(2)把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方后，将得到怎样的方程？这个方程一定表示圆吗？在什么条件下一定表示圆？这就是今天我们将要研究的问题．圆的一般方程(1)圆的一般方程的概念当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．其中圆心为，圆的半径为r＝.(2)对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的讨论①D2＋E2－4F＞0时表示圆．②D2＋E2－4F＝0时表示点.③D2＋E2－4F＜0时，不表示任何图形．思考：方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是什么？[提示]A＝C≠0，B＝0且D2＋E2－4F＞0.1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆．()(2)利用圆的一般方程无法判断点与圆的位置关系．()(3)圆的标准方程与一般方程可以相互转化．()(4)利用待定系数法求圆的一般方程时，需要三个独立的条件．()[提示](1)×(2)×(3)√(4)√2．若方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圆，则λ的取值范围是()A．(1，＋∞)B．C．(1，＋∞)∪D．RA[因为方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圆，所以D2＋E2―4F＞0，即4λ2＋4λ2―4(2λ2―λ＋1)＞0，解不等式得λ＞1，即λ的取值范围是(1，＋∞)．故选A.]3．圆的方程为(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0，则它的圆心坐标为________．[圆的方程整理为x2＋y2＋x＋2y－10＝0，配方得2＋(y＋1)2＝，所以圆心为.]4．过点(0,0)，(4,0)和(0,6)三点的圆的一般方程为________．x2＋y2－4x－6y＝0[三点构成的三角形为直角三角形，且圆心坐标为(2,3)，半径r＝＝.∴方程为(x－2)2＋(y－3)2＝13，一般方程为x2＋y2－4x－6y＝0.]圆的一般方程的认识【例1】(1)若方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是________．(2)下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心坐标和半径长．①x2＋y2－4x＝0；②2x2＋2y2－3x＋4y＋6＝0；③x2＋y2＋2ax＝0.(1)(－∞，1)[把方程配方得(x＋a)2＋(y＋a)2＝1－a，由条件可知1－a＞0，即a＜1.](2)[解]①方程可变形为(x－2)2＋y2＝4，故方程表示圆，圆心为C(2,0)，半径r＝2.②方程可变形为2＋2(y＋1)2＝－，此方程无实数解．故方程不表示任何图形．③原方程可化为(x＋a)2＋y2＝a2.当a＝0时，方程表示点(0,0)，不表示圆；当a≠0时，方程表示以(－a,0)为圆心，|a|为半径的圆．判断方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圆，关键是将其配方＋＝，最后转化为判断D2＋E2－4F的正负问题．[跟进训练]1．下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；(4)2x2＋2y2－5x＝0.[解](1) 方程2x2＋y2－7y＋5＝0中x2与y2的系数不相同，∴它不能表示圆．(2) 方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy这样的项，∴它不能表示圆．(3) 方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0化为(x－1)2＋(y－2)2＝－5，∴它不能表示圆．(4) 方程2x2＋2y2－5x＝0化为＋y2＝，∴它表示以为圆心，为半径长的圆.求圆的一般方程【例2】已知△ABC的三个顶点为A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．[解]法一：设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， A，B，C在圆上，∴∴∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝25.∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5.法二： kAB＝＝，kAC＝＝－3，∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC.∴△ABC是以角A为直角的直角三角形，∴外心是线段BC的中点，坐标为(1，－1)，r＝|BC|＝5.∴外接圆方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25.确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心(a，b)和半径r，一般步骤为：(1)根据题意，设所求的圆的标准方程为(x―a)2＋(y―b)2＝r2(r＞0)；(2)根据已知条...
