2.3.1数学归纳法2.3.2数学归纳法应用举例学习目标核心素养1.了解数学归纳法的原理.(重点、易混点)2.掌握数学归纳法的步骤.(难点)3.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.(难点)1.通过数学归纳法的学习,培养学生数学抽象、逻辑推理素养.2.通过利用数学归纳法证明数学命题,提升学生数学运算素养.数学归纳法数学归纳法的定义一个与自然数相关的命题,如果(1)当n取第一个值n0时命题成立;(2)在假设当n=k(k∈N+,且k≥n0)时命题也成立的前提下,推出当n=k+1时命题也成立,那么可以断定,这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立.1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.()(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.()(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可.()[答案](1)×(2)×(3)√2.用数学归纳法证明:首项是a1,公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn=na1+d时,假设当n=k时,公式成立,则Sk=()A.a1+(k-1)dB.C.ka1+dD.(k+1)a1+d[解析]假设当n=k时,公式成立,只需把公式中的n换成k即可,即Sk=ka1+d.[答案]C3.下列说法正确的是________.(填序号)①数学归纳法主要用于研究与正整数有关的数学问题,但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法证明;②证明当n=k+1时命题成立用到归纳假设,即n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立;③不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由n=k到n=k+1时,项数都增加了一项.[答案]①②用数学归纳法证明等式【例1】(1)用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)=(n∈N+)时,第一步验证n=1时,左边应取的项是()A.1B.1+2C.1+2+3D.1+2+3+4(2)用数学归纳法证明(n+1)·(n+2)·…·(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N+),“从k到k+1”左端增乘的代数式为__________.[解析](1)当n=1时,左边应为1+2+3+4,故选D.(2)令f(n)=(n+1)(n+2)…(n+n),则f(k)=(k+1)·(k+2)…(k+k),f(k+1)=(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2),所以==2(2k+1).[答案](1)D(2)2(2k+1)数学归纳法证题的三个关键点1.验证是基础找准起点,奠基要稳,有些问题中验证的初始值不一定是1.2.递推是关键数学归纳法的实质在于递推,所以从“k”到“k+1”的过程中,要正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律,弄清由n=k到n=k+1时,等式的两边会增加多少项、增加怎样的项.3.利用假设是核心在第二步证明n=k+1成立时,一定要利用归纳假设,即必须把归纳假设“n=k时命题成立”作为条件来导出“n=k+1”,在书写f(k+1)时,一定要把包含f(k)的式子写出来,尤其是f(k)中的最后一项,这是数学归纳法的核心,不用归纳假设的证明就不是数学归纳法.1.下面四个判断中,正确的是()A.式子1+k+k2+…+kn(n∈N+)中,当n=1时,式子的值为1B.式子1+k+k2+…+kn-1(n∈N+)中,当n=1时,式子的值为1+kC.式子1+++…+(n∈N+)中,当n=1时,式子的值为1++D.设f(n)=++…+(n∈N+),则f(k+1)=f(k)+++[解析]A中,n=1时,式子=1+k;B中,n=1时,式子=1;C中,n=1时,式子=1++;D中,f(k+1)=f(k)+++-.故正确的是C.[答案]C用数学归纳法证明不等式【例2】(1)用数学归纳法证明不等式++…+>(n≥2,n∈N+)的过程中,由n=k推导n=k+1时,不等式的左边增加的式子是__________.(2)证明:不等式1+++…+<2(n∈N+).[思路探究](1)写出当n=k时左边的式子,和当n=k+1时左边的式子,比较即可.(2)在由n=k到n=k+1推导过程中利用放缩法,在利用放缩时,注意放缩的度.[解析](1)当n=k+1时左边的代数式是++…++,增加了两项与,但是少了一项,故不等式的左边增加的式子是+-=.[答案](2)证明:①当n=1时,左边=1,右边=2,左边<右边,不等式成立.②假设当n=k(k≥1且k∈N+)时,不等式成立,即1+++…+<2.则当n=k+1时,1+++…++<2+=<==2.∴当n=k+1时,不等式成立.由①②可知,原不等式对任意n∈N+都成立.试用数学归纳法证明上例(1)中的不等式.[证明]①当n=2时,+=>.②假设当n=...