高中数学 第2章 推理与证明 2.3.1 数学归纳法 2.3.2 数学归纳法应用举例讲义 新人教B版选修2-2-新人教B版高二选修2-2数学教案VIP免费

2.3.1数学归纳法2.3.2数学归纳法应用举例学习目标核心素养1．了解数学归纳法的原理．(重点、易混点)2．掌握数学归纳法的步骤．(难点)3．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(难点)1．通过数学归纳法的学习，培养学生数学抽象、逻辑推理素养.2．通过利用数学归纳法证明数学命题，提升学生数学运算素养.数学归纳法数学归纳法的定义一个与自然数相关的命题，如果(1)当n取第一个值n0时命题成立；(2)在假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题也成立的前提下，推出当n＝k＋1时命题也成立，那么可以断定，这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．()(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1．()(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．()[答案](1)×(2)×(3)√2．用数学归纳法证明：首项是a1，公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn＝na1＋d时，假设当n＝k时，公式成立，则Sk＝()A．a1＋(k－1)dB.C．ka1＋dD．(k＋1)a1＋d[解析]假设当n＝k时，公式成立，只需把公式中的n换成k即可，即Sk＝ka1＋d.[答案]C3．下列说法正确的是________．(填序号)①数学归纳法主要用于研究与正整数有关的数学问题，但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法证明；②证明当n＝k＋1时命题成立用到归纳假设，即n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立；③不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．[答案]①②用数学归纳法证明等式【例1】(1)用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N＋)时，第一步验证n＝1时，左边应取的项是()A．1B．1＋2C．1＋2＋3D．1＋2＋3＋4(2)用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N＋)，“从k到k＋1”左端增乘的代数式为__________．[解析](1)当n＝1时，左边应为1＋2＋3＋4，故选D.(2)令f(n)＝(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，则f(k)＝(k＋1)·(k＋2)…(k＋k)，f(k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)，所以＝＝2(2k＋1)．[答案](1)D(2)2(2k＋1)数学归纳法证题的三个关键点1．验证是基础找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1．2．递推是关键数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项．3．利用假设是核心在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．1．下面四个判断中，正确的是()A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N＋)中，当n＝1时，式子的值为1B．式子1＋k＋k2＋…＋kn－1(n∈N＋)中，当n＝1时，式子的值为1＋kC．式子1＋＋＋…＋(n∈N＋)中，当n＝1时，式子的值为1＋＋D．设f(n)＝＋＋…＋(n∈N＋)，则f(k＋1)＝f(k)＋＋＋[解析]A中，n＝1时，式子＝1＋k；B中，n＝1时，式子＝1；C中，n＝1时，式子＝1＋＋；D中，f(k＋1)＝f(k)＋＋＋－.故正确的是C.[答案]C用数学归纳法证明不等式【例2】(1)用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>(n≥2，n∈N＋)的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是__________．(2)证明：不等式1＋＋＋…＋<2(n∈N＋)．[思路探究](1)写出当n＝k时左边的式子，和当n＝k＋1时左边的式子，比较即可．(2)在由n＝k到n＝k＋1推导过程中利用放缩法，在利用放缩时，注意放缩的度．[解析](1)当n＝k＋1时左边的代数式是＋＋…＋＋，增加了两项与，但是少了一项，故不等式的左边增加的式子是＋－＝.[答案](2)证明：①当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立．②假设当n＝k(k≥1且k∈N＋)时，不等式成立，即1＋＋＋…＋<2.则当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋<2＋＝<＝＝2.∴当n＝k＋1时，不等式成立．由①②可知，原不等式对任意n∈N＋都成立．试用数学归纳法证明上例(1)中的不等式．[证明]①当n＝2时，＋＝>.②假设当n＝...