高中数学 第2章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1（第一课时）归纳推理讲义（含解析）苏教版选修2-2-苏教版高二选修2-2数学教案VIP专享VIP免费

2．1.1合情推理第一课时归纳推理问题1：我们知道铜、铁、铝、金、银都是金属，它们有何物理性质？提示：都能导电．问题2：由问题1你能得出什么结论？提示：一切金属都能导电．问题3：最近中国健康报报道了人的血压和年龄一组数据，先观察表中数据的特点，用适当的数填入表中.年龄(岁)3035404550556065收缩压(水银柱/毫米)110115120125130135145舒张压(水银柱/毫米)70737578808388提示：14085问题4：由问题3中的数据你还能得出什么结论？提示：随着人的年龄增长，人的血压在增高．问题5：数列{an}的前五项为1,3,5,7,9试写出an.提示：an＝2n－1(n∈N*)．1．推理(1)推理的定义从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理．(2)推理的组成任何推理都包含前提和结论两个部分，前提是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；结论是根据前提推得的命题，它告诉我们推出的知识是什么．2．归纳推理(1)归纳推理的定义从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理．(2)归纳推理的思维过程如图→→(3)归纳推理的特点①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围．②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它不能作为数学证明的工具．③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．1．归纳推理是从特殊到一般，具体到抽象的推理形式．因此，由归纳得到的结论超越了前提所包容的范围．2．归纳是根据若干已知的条件(现象)推断未知结论(现象)，因而，结论(现象)具有猜测的性质．3．归纳的前提是特殊现象，归纳是立足于观察、经验或实验的基础上的．4．观察和实验是进行归纳推理的最基本条件，是归纳推理的基础，通过观察和实验，为知识的总结和归纳提供依据．5．由归纳推理所得到的结论未必是可靠的，但是它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对于科学的发现却是十分有用的，是进行科学研究的最基本的方法之一．归纳推理在数列中的应用[例1]已知数列{an}的第1项a1＝1，且an＋1＝(n＝1,2，…)，求出a2，a3，a4，并推测an.[思路点拨]数列的通项公式表示的是数列{an}的第n项an与序号n之间的对应关系，根据已知的递推公式，求出数列的前几项，观察出n与an的关系即可解决．[精解详析]当n＝1时，a1＝1；当n＝2时，a2＝＝；当n＝3时，a3＝＝；当n＝4时，a4＝＝.观察可得，数列的前4项等于相应序号的倒数．由此猜想，这个数列的通项公式为an＝.[一点通]在求数列的通项与前n项和时，经常用归纳推理得出结论．这就需要在进行归纳推理时要先转化为一个统一的形式，分出变化部分和不变部分，重点分析变化规律与n的关系，往往会较简捷地获得结论．1．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝.求出a1，a2，a3，a4，并推测an.解： Sn＝，∴a1＝，∴a＝1.又 an>0，∴a1＝1；a1＋a2＝，即1＋a2＝，∴a2＝－1；a1＋a2＋a3＝，即＋a3＝，∴a3＝－；a1＋a2＋a3＋a4＝，∴＋a4＝，∴a4＝2－；观察可得，an＝－.2．已知数列{an}中，a2＝6，＝n.(1)求a1，a3，a4；(2)猜想数列{an}的通项公式．解：(1)由a2＝6，＝1，得a1＝1.由＝2，得a3＝15.由＝3，得a4＝28.故a1＝1，a3＝15，a4＝28.(2)由a1＝1＝1×(2×1－1)；a2＝6＝2×(2×2－1)；a3＝15＝3×(2×3－1)；a4＝28＝4×(2×4－1)，…猜想an＝n(2n－1)．归纳推理在不等式中的应用[例2]对任意正整数n，试归纳猜想2n与n2的大小关系．[思路点拨]→→→[精解详析]当n＝1时，21>12；当n＝2时，22＝22；当n＝3时，23<32；当n＝4时，24＝42；当n＝5时，25>52；当n＝6时，26>62.归纳猜想，当n＝3时，2n