3.2平面向量基本定理学习目标核心素养1.了解平面向量基本定理及其意义．(重点)2.能应用平面向量基本定理解决一些实际问题．(难点)1.通过学习平面向量基本定理，提升数学抽象素养．2.通过平面向量基本定理解决实际问题，培养直观想象素养．平面向量基本定理如果e1，e2(如图①所示)是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2(如图②所示)，其中不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．思考：若存在λ1，λ2∈R，μ1，μ2∈R，且a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，那么λ1，μ1，λ2，μ2有何关系？[提示]由已知得λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，即(λ1－μ1)e1＝(μ2－λ2)e2. e1与e2不共线，∴λ1－μ1＝0，μ2－λ2＝0，∴λ1＝μ1，λ2＝μ2.1．设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是()A.e1，e2B．e1＋e2，3e1＋3e2C．e1，5e2D．e1，e1＋e2[答案]B2．设O为平行四边形ABCD的对称中心，AB＝4e1，BC＝6e2，则2e1－3e2等于()A．OAB．OBC．OCD．ODB[如图，OB＝DB＝(AB－BC)＝2e1－3e2.]3．已知向量a与b是一组基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝________．3[由原式可得解得所以x－y＝3.]4．已知向量a与b不共线，且AB＝a＋4b，BC＝－a＋9b，CD＝3a－b，则共线的三点为________．A，B，D[BD＝BC＋CD＝－a＋9b＋3a－b＝2a＋8b，因为AB＝a＋4b，所以AB＝BD，所以A，B，D三点共线．]对向量基底的理解【例1】设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：①AD与AB；②DA与BC；③CA与DC；④OD与OB，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是()A．①②B．①③C．①④D．③④B[①AD与AB不共线；②DA＝－BC，则DA与BC共线；③CA与DC不共线；④OD＝－OB，则OD与OB共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．]考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．1．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b.－[由题意，设e1＋e2＝ma＋nb.因为a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.由平面向量基本定理，得所以]用基底表示向量【例2】设M、N、P是△ABC三边上的点，它们使BM＝BC，CN＝CA，AP＝AB，若AB＝a，AC＝b，试用a，b将MN、NP、PM表示出来．[解]如图，MN＝CN－CM＝－AC－CB＝－AC－(AB－AC)＝AC－AB＝b－a.同理可得NP＝a－b.PM＝－MP＝－(MN＋NP)＝a＋b.平面内任何一个向量都可以用两个基底进行表示，转化时一定要看清转化的目标，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，同时结合实数与向量积的定义，牢记转化方向，把未知向量逐步往基底方向进行组合或分解．2.如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分别是DC和AB的中点，若AB＝a，AD＝b，试用a，b表示DC，BC，MN.[解]如图所示，连接CN，则四边形ANCD是平行四边形．则DC＝AN＝AB＝a；BC＝NC－NB＝AD－AB＝b－a；MN＝CN－CM＝－AD－CD＝－AD－＝a－b.平面向量基本定理应用[探究问题]1．如果e1，e2是两个不共线的非零向量，则与e1，e2在同一平面内的任一向量a，能否用e1，e2表示？依据是什么？[提示]能．依据是平面向量基本定理．2．如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？[提示]不一定．当a与e1，e2中的一个非零向量共线时可以表示，否则不能表示．3．基底给定时，向量分解形式唯一吗？[提示]向量分解形式唯一．【例3】如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN.[思路探究]以BM与CN为基底利用平面向量基本定理求解，解题时注意条件A、P、M和B、P、N分别共线的应用．[解]设BM＝e1，CN＝e2，则AM＝AC＋CM＝－3e2－e1，BN＝BC＋CN＝2e1＋e2. A，P，M和B，P，N分别共线，∴存在实数λ...
