2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学习目标核心素养1.掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算．(重点)2.会运用向量的坐标运算求解向量垂直、夹角等相关问题．(难点)3.分清向量平行与垂直的坐标表示．(易混点)1.通过平面向量数量积的坐标表示，培养学生的数学运算素养.2.借助向量的坐标运算求向量的夹角、长度以及论证垂直问题，提升学生逻辑推理和数学运算素养.1．平面向量数量积的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.数量积a·b＝x1x2＋y1y2向量垂直a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝02.向量模的公式设a＝(x1，y1)，则|a|＝.3．两点间的距离公式若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝.4．向量的夹角公式设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b夹角为θ，则cosθ＝＝.思考：已知向量a＝(x，y)，你知道与a共线的单位向量的坐标是什么吗？与a垂直的单位向量的坐标又是什么？[提示]设与a共线的单位向量为a0，则a0＝±a＝±＝±，其中正号、负号分别表示与a同向和反向．易知b＝(－y，x)和a＝(x，y)垂直，所以与a垂直的单位向量b0的坐标为±，其中正、负号表示不同的方向．1．若向量a＝(x,2)，b＝(－1,3)，a·b＝3，则x等于()A．3B．－3C.D．－A[a·b＝－x＋6＝3，x＝3，故选A.]2．已知a＝(2，－1)，b＝(2,3)，则a·b＝________，|a＋b|＝________.12[a·b＝2×2＋(－1)×3＝1，a＋b＝(4,2)，|a＋b|＝＝2.]3．已知向量a＝(1,3)，b＝(－2，m)，若a⊥b，则m＝______.[因为a⊥b，所以a·b＝1×(－2)＋3m＝0，解得m＝.]4．已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a与b夹角的余弦值为________．[因为a·b＝3×5＋4×12＝63，|a|＝＝5，|b|＝＝13，所以a与b夹角的余弦值为＝＝.]平面向量数量积的坐标运算【例1】(1)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB·AF＝，则AE·BF的值是________．(2)已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.①求a的坐标；②若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.思路点拨：(1)(2)①先由a＝λb设点a坐标，再由a·b＝10求λ.②依据运算顺序和数量积的坐标公式求值．(1)[以A为坐标原点，AB为x轴、AD为y轴建立平面直角坐标系，则B(，0)，D(0,2)，C(，2)，E(，1)．可设F(x,2)，因为AB·AF＝(，0)·(x,2)＝x＝，所以x＝1，所以AE·BF＝(，1)·(1－，2)＝.](2)[解]①设a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．② b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝10，∴a(b·c)＝0a＝0，(a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10)．数量积运算的途径及注意点1进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质，解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算.2对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解.[跟进训练]1．向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝()A．－1B．0C．1D．2C[ a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.]2．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝(1，－2)，AD＝(2,1)，则AD·AC＝()A．5B．4C．3D．2A[由AC＝AB＋AD＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，得AD·AC＝(2,1)·(3，－1)＝5.]向量模的坐标表示【例2】(1)设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|2a－b|等于()A．4B．5C．3D．4(2)若向量a的始点为A(－2,4)，终点为B(2,1)，求：①向量a的模；②与a平行的单位向量的坐标；③与a垂直的单位向量的坐标．思路点拨：综合应用向量共线、垂直的坐标表示和向量模的坐标表示求解．(1)D[由a∥b得y＋4＝0，∴y＝－4，b＝(－2，－4)，∴2a－b＝(4,8)，∴|2a－b|＝4.故选D.](2)[解]① a＝AB＝(2,1)－(－2,4)＝(4，－3)，∴|a|＝＝5.②与a平行的单位向量是±＝±(4，－3)，即坐标为或.③设与a垂直的单位向量为e＝(m，n)，则a·e＝4m－3n＝0，∴＝.又 |e|＝1，∴m2＋n2＝1.解得或∴e＝或e＝.求向量的模的两种基本策略1字母表示下的运算：利用|a|2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.2坐标表示下的运算：若a＝...
