2.3.4平面向量共线的坐标表示学习目标核心素养1.理解用坐标表示两向量共线的条件．(难点)2.能根据平面向量的坐标判断向量是否共线，并掌握三点共线的判断方法．(重点)3.两直线平行与两向量共线的判定．(易混点)通过平面向量共线的坐标表示及应用，培养学生、逻辑推理和数学运算素养.平面向量共线的坐标表示(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线，当且仅当存在实数λ，使a＝λb.(2)如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线．思考：两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的坐标条件能表示成＝吗？[提示]不一定，x2，y2有一者为零时，比例式没有意义，只有x2y2≠0时，才能使用．1．已知A(2，－1)，B(3,1)，则与AB平行且方向相反的向量a是()A．(2,1)B．(－6，－3)C．(－1,2)D．(－4，－8)D[AB＝(1,2)，根据平行条件知选D.]2．下列各对向量中，共线的是()A．a＝(2,3)，b＝(3，－2)B．a＝(2,3)，b＝(4，－6)C．a＝(，－1)，b＝(1，)D．a＝(1，)，b＝(，2)D[A，B，C中各对向量都不共线，D中b＝a，两个向量共线．]3．已知a＝(－3,2)，b＝(6，y)，且a∥b，则y＝________.－4[ a∥b，∴＝，解得y＝－4.]4．若A(3，－6)，B(－5,2)，C(6，y)三点共线，则y＝________.－9[AB＝(－8,8)，AC＝(3，y＋6)， A，B，C三点共线，即AB∥AC，∴－8(y＋6)－8×3＝0，解得y＝－9.]向量共线的判定与证明【例1】(1)下列各组向量中，共线的是()A．a＝(－2,3)，b＝(4,6)B．a＝(2,3)，b＝(3,2)C．a＝(1，－2)，b＝(7,14)D．a＝(－3,2)，b＝(6，－4)(2)已知A(－1，－1)，B(1,3)，C(1,5)，D(2,7)，向量AB与CD平行吗？直线AB平行于直线CD吗？思路点拨：(1)利用“纵横交错积相减”判断．(2)→→(1)D[A中，－2×6－3×4≠0，B中3×3－2×2≠0，C中1×14－(－2)×7≠0，D中(－3)×(－4)－2×6＝0.故选D.](2)[解] AB＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2,4)，CD＝(2－1,7－5)＝(1,2)．又2×2－4×1＝0，∴AB∥CD.又AC＝(2,6)，AB＝(2,4)，∴2×4－2×6≠0，∴A，B，C不共线，∴AB与CD不重合，∴AB∥CD.向量共线的判定方法提醒：向量共线的坐标表达式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并记熟这一公式，可简记为：纵横交错积相减．[跟进训练]1．已知A(1，－3)，B，C(9,1)，求证：A，B，C三点共线．[证明]AB＝＝，AC＝(9－1,1＋3)＝(8,4)， 7×4－×8＝0，∴AB∥AC，且AB，AC有公共点A，∴A，B，C三点共线.已知平面向量共线求参数【例2】已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？思路点拨：法一：可利用b与非零向量a共线等价于b＝λa(λ>0，b与a同向；λ<0，b与a反向)求解；法二：可先利用坐标形式的等价条件求k，再利用b＝λa判定同向还是反向．[解]法一：(共线向量定理法)ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b)．由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，所以解得k＝λ＝－.当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，这时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)，因为λ＝－<0，所以ka＋b与a－3b反向．法二：(坐标法)由题知ka＋b＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(10，－4)，因为ka＋b与a－3b平行，所以(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，解得k＝－.这时ka＋b＝＝－(a－3b)，所以当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．利用向量平行的条件处理求值问题的思路：(1)利用共线向量定理a＝λb(b≠0)列方程组求解．(2)利用向量平行的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．[跟进训练]2．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)，若c∥(2a＋b)，则λ＝________.[由题可得2a＋b＝(4,2)， c∥(2a＋b)，c＝(1，λ)，∴4λ－2＝0，即λ＝.故答案为.]向量共线的综合应用【例3】(1)已知向量a＝(cosα，－2)，b＝(sinα，1)，且a∥b，则2sinαcosα等于()A．3B．－3C．－D.(2)如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2，6)，求AC与OB的交点P的坐标．思路点拨：(1)先由a∥b推出sinα与cosα的关系，求tanα，再用“1”的代换求2sinαcosα.(2)...
