2.3.2向量数量积的运算律学习目标核心素养1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．(难点)2．体会平面向量的数量积与向量射影的关系．(重点)3.掌握数量积的运算性质，并会利用其性质解决有关长度、夹角、垂直等问题．(重点)1．通过向量的夹角、向量数量积概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养．2．通过向量数量积的应用，培养学生的数学运算核心素养.1．向量的夹角定义已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角.范围0°≤θ≤180°特例θ＝0°a与b同向θ＝180°a与b反向θ＝90°a与b垂直，记作a⊥b，规定零向量可与任一向量垂直2.向量的数量积向量在轴上的正射影．已知向量a和轴l，如图．(1)正射影的概念：作OA＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量O1A1叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)；(2)正射影的数量：该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量.OA＝a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有al＝|a|cosθ.3．平面向量数量积的定义|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的数量积，记作|a||b|cos〈a，b〉．4．数量积的性质(1)若e是单位向量，则e·a＝a·e＝|a|cos〈a·e〉．思考1：向量的数量积与数乘向量的区别是什么？[提示]向量的数量积a·b是一个实数，不考虑方向；数乘向量λa是一个向量，既有大小，又有方向，这是二者的区别．(2)若a⊥b，则a·b＝0；反之，若a·b＝0，则a⊥b，通常记作a⊥b⇔a·b＝0.思考2：a·b＝0与ab＝0的区别是什么？[提示](1)意义和表达方式不同．a·b表示两个向量的数量积，中间的“·”不能省略，也不能写成“×”．(2)推出的结果不同．由a·b＝0可推出以下四种可能①a＝0，b＝0，②a＝0，b≠0，③a≠0，b＝0，④a≠0，b≠0，但a⊥b.而ab＝0可推出a与b中至少有一个为0.(3)|a|＝.(4)cosθ＝.(|a|·|b|≠0)(5)对任意两个向量a，b，有|a·b|≤|a||b|.当且仅当a∥b时等号成立．1．已知|a|＝3，向量a与b的夹角为，则a在b方向上的投影为()A.B.C.D.D[向量a在b方向上的投影为|a|cosθ＝3×cos＝.故选D.]2．在△ABC中，AB＝a，BC＝b，且b·a＝0，则△ABC是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法确定C[在△ABC中，因为b·a＝0，所以b⊥a，故△ABC为直角三角形．]3．如图，在△ABC中，AC，AB的夹角与CA，AB的夹角的关系为________．互补[根据向量夹角定义可知向量AB，AC夹角为∠BAC，而向量CA，AB夹角为π－∠BAC，故二者互补．]与向量数量积有关的概念【例1】(1)以下四种说法中正确的是________．(填序号)①如果a·b＝0，则a＝0或b＝0；②如果向量a与b满足a·b<0，则a与b所成的角为钝角；③△ABC中，如果AB·BC＝0，那么△ABC为直角三角形；④如果向量a与b是两个单位向量，则a2＝b2.(2)已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝－12，则a在b方向上的正射影的数量为________，b在a方向上的正射影的数量为________．(3)已知等腰△ABC的底边BC长为4，则BA·BC＝________.[思路探究]根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答．(1)③④(2)－－4(3)8[(1)由数量积的定义知a·b＝|a||b|·cosθ(θ为向量a，b的夹角)．①若a·b＝0，则θ＝90°或a＝0或b＝0，故①错；②若a·b<0，则θ为钝角或θ＝180°，故②错；③由AB·BC＝0知B＝90°，故△ABC为直角三角形，故③正确；④由a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故④正确．(2)设a与b的夹角为θ，则有a·b＝|a|·|b|cosθ＝－12，所以向量a在向量b方向上的正射影的数量为|a|·cosθ＝＝＝－；向量b在向量a方向上的正射影的数量为|b|·cosθ＝＝＝－4.(3)如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D.因为AB＝AC，所以BD＝BC＝2，于是|BA|cos∠ABC＝|BD|＝|BC|＝×4＝2，所以BA·BC＝|BA||BC|cos∠ABC＝4×2＝8.]1．在书写数量积时，a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，更不能省略不写．2．求平面向量数量积的方法：(1)若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cosθ.(2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的射影，可利用数量积的几何意义求a·b.1．给出下列判断：①若a2＋b...
