2.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件学习目标核心素养1．会用坐标表示平面向量共线的条件．(重点)2．能运用向量共线的条件来解决有关向量共线、直线平行及点共线等问题．(重点、难点)通过向量共线条件的坐标运算及应用，提升学生的数学运算及逻辑推理核心素养.两个向量平行的坐标表示选择基底{e1，e2}．(1)设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a∥b⇔a1b2－a2b1＝0.(2)设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，如果向量b不平行于坐标轴，即b1≠0，b2≠0，则a∥b⇔＝.用语言可以表述为：两个向量平行的条件是，相应坐标成比例．思考：如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们同向还是反向吗？[提示]当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向．当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向．例如：向量(1,2)与(－1，－2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向．向量(－1,2)与(－3,6)同向；向量(－1,0)与(3,0)反向．1．设k∈R，下列向量中，与向量a＝(1，－1)一定不平行的向量是()A．b＝(k，k)B．c＝(－k，－k)C．d＝(k2＋1，k2＋1)D．e＝(k2－1，k2－1)C[由向量共线的判定条件，当k＝0时，向量b，c分别与a平行；当k＝±1时，向量e与a平行．对任意k∈R,1·(k2＋1)＋1·(k2＋1)≠0，∴a与d不平行．]2．已知向量a＝(3，x－1)，b＝(1,2)，若a∥b，则实数x的值为()A．5B．6C．7D．8C[ a∥b，∴3×2－(x－1)＝0，解得x＝7.]3．已知A(1,2)，B(2,3)，C(5，x)三点共线，则x＝________.6[ A(1,2)，B(2,3)，C(5，x)，∴AB＝(1,1)，AC＝(4，x－2)，又A，B，C三点共线，∴AB∥AC，故x－2－4＝0，解得x＝6.]判定直线平行、三点共线【例1】(1)已知A(1，－3)，B，且A，B，C三点共线，则C的坐标可以是()A．(－9,1)B．(9，－1)C．(9,1)D．(－9，－1)(2)已知四点坐标A(－1,1)，B(1,5)，C(－2，－1)，D(4,11)，请判断直线AB与CD是否平行？(3)已知A(－1，－1)，B(1,3)，C(1,5)，D(2,7)，向量AB与CD平行吗？直线AB平行于直线CD吗？[思路探究](1)利用向量的平行条件x1y2－x2y1＝0，可证明有公共点的两个平行向量共线，从而可证明三点共线．(2)判定两直线平行，先判定两向量平行，再说明两向量上的相关点不共线．(1)C[设点C的坐标是(x，y)，因为A，B，C三点共线，所以AB∥AC.因为AB＝－(1，－3)＝，AC＝(x，y)－(1，－3)＝(x－1，y＋3)，所以7(y＋3)－(x－1)＝0，整理得x－2y＝7，经检验可知点(9,1)符合要求，故选C.](2)解：因为AB＝(1,5)－(－1,1)＝(2,4)，AD＝(4,11)－(－1，1)＝(5,10)，AC＝(－2，－1)－(－1,1)＝(－1，－2)，所以AB＝－2AC，AD＝－5AC.所以AB∥AC∥AD.由于AB与AC，AD有共同的起点A，所以A，B，C，D四点共线，因此直线AB与CD重合．故直线AB与CD不平行．(3)解：因为AB＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2,4)，CD＝(2－1,7－5)＝(1,2)．又因为2×2－4×1＝0，所以AB∥CD.又因为AC＝(1－(－1)，5－(－1))＝(2,6)，AB＝(2,4)，所以2×4－2×6≠0，所以A，B，C不共线，所以AB与CD不重合，所以AB∥CD.三点共线的条件以及判断方法：(1)已知A，B，C三点共线时可转化为AB∥AC，可利用向量共线的条件求解．(2)利用向量平行证明三点共线时需分两步完成：①证明向量平行；②证明两个向量有公共点．1．设O是坐标原点，OA＝(k,12)，OB＝(4,5)，OC＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？[解] AB＝OB－OA＝(4－k，－7)，AC＝OC－OA＝(10－k，k－12)，又A，B，C三点共线，∴(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0，解得k＝－2或k＝11.即当k＝－2或k＝11时，A，B，C三点共线.已知平面向量共线求参数【例2】(1)已知向量a＝(x,3)，b＝(－3，x)，则①存在实数x，使a∥b；②存在实数x，使(a＋b)∥a；③存在实数x，m，使(ma＋b)∥a；④存在实数x，m，使(ma＋b)∥b.其中，所有叙述正确的序号为________．(2)已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？[思路探究](1)可利用向量共线定理列方程判断方程解的情况来解决．(2)可先利用坐标形式的等价条件求k，再利用b＝λa判定同向还是反向．(1)④[由a∥b⇔x2＝－9无实数解，故①不对；又a＋b＝(x－3,3＋x)，由(a＋b)∥a得3(x－3)－x(3＋x)＝0，即x2＝－9...
