高中数学 专题3 函数的概念教案 新人教A版必修1VIP专享VIP免费

专题三函数的概念一.知识网络二.高考考点1.映射中的象与原象的概念;2.分段函数的问题:定义域、值域以及相关的方程或不等式的解的问题;用心爱心专心13.复合函数的解析式、图象以及相关的最值等问题;4.分类讨论、数形结合等数学思想方法的应用.三.知识要点(一)函数的定义1、传统定义:设在某一变化过程中有两个变量x和y,如果对于某一范围内x的每一个值,y都有唯一的值和它对应,那么就说y是x的函数,x叫做自变量,y叫做因变量(函数).2、现代定义:设A、B是两个非空数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合｛f(x)|x∈A｝叫做函数的值域.3、认知:①注意到现代定义中“A、B是非空数集”,因此,今后若求得函数定义域或值域为φ,则此函数不存在.②函数对应关系、定义域和值域是函数的三要素,缺一不可.在函数的三要素中,对应关系是核心,定义域是基础,当函数的定义域和对应法则确定之后,其值域也随之确定.(二).映射的概念将函数定义中的两个集合从非空数集扩展到任意元素的集合,便得到映射概念.1、定义1:设A、B是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A中任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A、B及集合A到集合B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射,记作f：A→B2、定义2:给定一个集合A到集合B的映射f：A→B,且a∈A,b∈B,如果在此映射之下元素a和元素b对应,则将元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象.即如果在给定映射下有f：a→b,则b叫做a的象,a叫做b的原象.3、认知:映射定义的精髓在于“任一(元素)对应唯一(元素)”,即A中任一元素在B中都有唯一的象.在这里,A中元素不可剩,允许B中有剩余；不可“一对多”,允许“多对一”.因此,根据B中元素有无剩余的情况,映射又可分为“满射”和“非满射”两类.集合A到集合B的映射f：A→B是一个整体,具有方向性；f：A→B与f：B→A一般情况下是不同的映射.（三）、函数的表示法表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法和口头描述法.1、解析法:把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式.2、列表法:列出表格表示两个变量的函数关系的方法.运用列表法表示的,多是理论或实际用心爱心专心2生活中偏于实用的函数.3、图象法:用函数图象表示两个变量之间函数关系的方法.图象法直现形象地表示出函数的变化情况,是数形结合的典范.只是它不能精确表示自变量与函数值之间的对应关系.认知:函数符号的意义在函数的概念中,我们用符号“y=f(x)”表示“y是x的函数”这句话.其中,对于运用解析法给出的函数y=f(x),其对应法则“f”表示解析式蕴含的对自变量x施加的“一套运算的法则”,即一套运算的框架.具体地,对于函数f(x)=5-2x+3(x>1)①对应法则“f”表示这样一套运算的框架:5()－2（）＋3，（）＞１．即f:5()-2()+3,()>1.据此,我们可分别对函数值与函数表达式作以诠释和辩析:f(a):对自变量x的取值a实施上述运算后的结果,故有f(a)=5-2a+3(a>1);f(x):对自变量x实施上述运算后的结果,故有f(x)=5-2x+3(x>1);f(g(x)):对函数g(x)实施上述运算后的结果,于是有f(g(x))=5(x)-2g(x)+3(g(x)>1)②感悟:函数符号意义之下的产物或推论有比较才能有鉴别,有品味才能有感悟.我们仔细地比较和品味①、②,不难从中悟出这样的代换规律:f(x)的解析式f[g(x)]的表达式我们将上述替换形象地称之为“同位替换”.显然,同位替换是在函数符号的意义下产生的函数特有的替换,它源于“等量替换”，又高于“等量替换”，对于同位替换,在两式不可能相等的条件下仍可操作实施,这是“等量替换”所不能比拟的.由f(x)的解析式导出f(x+1)的解析式,便是辩析两种替换的一个很好的范例.四.经典例题例1.如右图,在直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥OC,且AB=1,OC=BC=2,用心爱心专心3直线l:x=ｔ,截此梯形所得位于l左方的图形面积为S,则函数S=f(t)的大致图象是以下图形中()分析1:立足于f(t)在t∈[0,1]上的函数式.直线OA的方程为...