高中数学 专题1.1.2 导数的概念 1.1.2 变化率问题教案 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学教案VIP专享VIP免费

1.1.2导数的概念1.1.2变化率问题【教学目标】1．了解导数概念的实际背景．2．会求函数在某一点附近的平均变化率．3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．【教法指导】本节学习重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率、瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念．本节学习难点：平均变化率、瞬时变化率的概念，导数的概念．【教学过程】☆复习引入☆某市2016年5月30日最高气温是33.4℃，而此前的两天5月29日和5月28日最高气温分别是24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温“陡增”14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果我们将该市2013年4月28日最高气温3.5℃和5月28日最高气温18.6℃进行比较，可以发现二者温差为15.1℃，甚至超过了14.8℃，而人们却不会发出上述感慨，这是什么原因呢？显然原因是前者变化得“太快”，而后者变化得“缓慢”，那么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢？解析：请同学思考并回顾以前所学知识并积极回答之.☆探索新知☆思考1：气球膨胀率很多人都吹过气球．回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？答：气球的半径r(单位：dm)与体积V(单位：L)之间的函数关系是r(V)＝，(2)当空气容量V从1L增加到2L时，气球半径增加了r(2)－r(1)≈0.16(dm)，气球的平均膨胀率为≈0.16(dm/L)．可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了．结论当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是.思考2：高台跳水人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.计算运动员在时间段①0≤t≤0.5，②1≤t≤2内的平均速度，并思考平均速度有什么作用？答：①在0≤t≤0.5这段时间里，＝＝4.05(m/s)；②在1≤t≤2这段时间里，＝＝－8.2(m/s)．由以上计算体会到平均速度可以描述运动员在某段时间内运动的快慢．思考3：思考3什么是平均变化率，平均变化率有何作用？思考1和思考2中的平均变化率分别表示什么？1思考4：平均变化率也可以用式子表示，其中Δy、Δx的意义是什么？有什么几何意义？答：Δx表示x2－x1是相对于x1的一个“增量”；Δy表示f(x2)－f(x1)．Δx、Δy的值可正可负，Δy也可以为零，但Δx不能为零．观察图象可看出，表示曲线y＝f(x)上两点(x1，f(x1))、(x2，f(x2))连线的斜率．【小结】平均变化率为＝，其几何意义是：函数y＝f(x)的图象上两点(x1，f(x1))、(x2，f(x2))连线的斜率．思考5：物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？答：不能，如高台跳水运动员相对于水面的高度h与起跳时间t的函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，易知h()＝h(0)，＝＝0，而运动员依然是运动状态．思考6：什么叫做瞬时速度？它与平均速度的区别与联系是什么？平均变化率与瞬时变化率的关系如何？答：可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态．如求t＝2时的瞬时速度，可考察在t＝2附近的一个间隔Δt，当Δt趋近于0时，平均速度v趋近于lim，这就是物体在t＝2时的瞬时速度．类似可以得出平均变化率与瞬时变化率的关系，我们把函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率lim＝lim叫做函数y＝f(x)在x＝x0处的导数．思考7：(1)计算函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；④0.01.(2)思考：当|Δx|越来越小时，函数h(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？解：(1) Δy＝h(1＋Δx)－h(1)＝－4.9(Δx)2－3.3Δx，∴＝－4.9Δx－3.3.①当Δx＝2时，＝－4.9Δx－3.3＝－13.1；②当Δx＝1时，＝－4.9Δx－3.3＝－8.2；③当Δx＝0.1时，＝－4.9Δx－3.3＝－3.79；④当Δx＝0.01时，＝－4.9Δx－3.3＝－3.349.(2)当|Δx|越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3.思考8：导数或瞬时变化率反映函数变化的什么特征？答：导数或瞬时变化率可以反映函数在一点处变化的快慢程度．2．函数在某点处的导数：我们称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数...