直线与平面垂直的判定和性质(3)第三课时教学目标：1．理解斜线、斜线段、斜足、射影等概念．2．掌握射影定理．3．理解斜线和平面所成的角是斜线和平面内一切直线所成的角中的最小角．教具准备：三角板．教学过程：［设置情境］直线与直线相交，我们可以用夹角来描述它们的相对位置关系．两直线异面时，我们用所成角及距离来描述它们的相对位置关系，那么直线与平面之间有夹角吗？怎样去定义直线和平面的夹角呢？［探索研究］1．斜线在平面内的射影这部分内容涉及的概念较多，为了便于学生理解记忆，可以边讲画图，同时在图上注出有关概念的名称．（1）点的射影如图1，直线，，点是点在内的射影，线段是点到的垂线段．图1（2）斜线与斜线段如图2，直线，不垂直于，直线是的一条斜线，点是斜足，线段是是点到的斜线段．图2（3）平面外一点到这个平面的垂线段有且只有一条，而这点到这个平面的斜线段有无数条（图3）．用心爱心专心115号编辑图3（4）斜线在平面内的射影如图4，，直线是斜线在内的射影，线段是斜线段在内的射影．图4（5）定理从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长．②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长．③垂线段比任何一条斜线段都短．如图5，是平面的垂线段，是平面的斜线段，分别是在平面内的射影．这时有：图5（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）注意：在应用这个定理时，平面外只能是一点才行．如：若是平面的斜线段，它们在平面内的射影分别为，则若，不一定有．2．直线和平面所成的角（1）斜线和平面所成的角平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．如图6，是平面的一条斜线，点是斜足，是上任意一点，是的垂线，点是垂足，所以直线（记作）是在内的射影，（记作）是与所成的角．这时与所成的角的范围是：．这是斜线与平面所成角的范围．用心爱心专心115号编辑图6一条直线垂直于一个平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是的角．一般地，一条直线与一个平面所成的角的范围是．（2）一个重要结论斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角．如图6，设直线是内与不同的任意一条直线，过点引垂直于，垂足为．因为，所以，即．因经．根据异面直线所成的角的定义，我们可以进一步得出，斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．证明：设是平面的一条斜线是在内的射影，点是斜足，是内任意一条与不平行的直线．如图6．若直线过点，则由上述所证，与所成的角小于与所成的角．若直线不过点，则过点作直线，使，与所成的角等于与所成的角，从而与所成的角小于角．例题如图7，已知垂直于直角三角形所在的平面，，，，，求直线与平面所成的角．图6解：作于，由平面得∴∴平面，连结，则即为所求 ，，∴，，用心爱心专心115号编辑在中，，在中，∴∴．［演练反馈］1．平面的一条斜线和这个平面所成的角的范围是（）A．B．C．D．2．为所在的平面外一点，且，则在平面上的射影为的（）A．内心B．外心C．重心D．垂心3．的斜边在平面内，直角顶点在外，在上的射影为（不在上），则是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．锐角或钝角三角形4．如图1，直角三角形的斜边在平面内，和与所成角分别为、，是斜边上的高，求与平面所成的角．图1图25．如图2，正方体中，是的中点，求与平面所成角的余弦值．6．课本P25练习1．7．课本P25练习2．［参考答案］1．C2．B3．C4．提示：作于点，连、、，则，为所求，令，分别在直角三角形中算出，在中算出．5．提示：取中点，连，证明面，在中计算．6．不一定与的位置关系三种都可能，即平行，相交，异面．7．作交于，即为所求，．［总结提炼］要注意比较点的射影、斜线的射影、斜线段的射影之间的关系，要注意射影定理中垂线段最短是对平面外同一个点而言的，斜线和平面所成的角是斜线和平面内经过斜足的直线所成用心爱心专心115号编辑的一切角中最小的，而且其中“经过斜足”可以去掉．布置作业：1...
