分类计数原理与分步计数原理(2)【目的】1.进一步理解两个基本原理.2.会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题.【过程】：一、复习引入分类计数原理与分步计数原理.二、新课例1平面上的直线上的三点、、及外一点,过这四点中的两点连直线,可连得多少条不同的直线?引伸1:在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有多少种?分析:取与取是同一种取法.分类标准为两加数的奇偶性,第一类,偶偶相加,由分步计数原理得(10×9)/2=45种取法,第二类,奇奇相加,也有(10×9)/2=45种取法.根据分类计数原理共有45+45=90种不同取法.引伸2:在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和大于20的不同取法共有多少种?分析:分类标准一,固定小加数.小加数为1时,大加数只有20这1种取法;小加数为2时,大加数有19或20两种取法;小加数为3时,大加数为18,19或20共3种取法…小加数为10时,大加数为11,12,…,20共10种取法;小加数为11时,大加数有9种取法…小加数取19时,大加数有1种取法.由分类计数原理,得不同取法共有1+2+…+9+10+9+…+2+1=100种.分类标准二:固定和的值.有和为21,22,…,39这几类,依次有取法10,9,9,8,8,…,2,2,1,1种.由分类计数原理得不同取法共有10+9+9+…+2+2+1+1=100种.例2(教材例2,3)分析两例的共同点和不同点、共同点:都要分步计数不同点:例2分四步,每步确定一个拨盘上的数码,并且数码可重复使用;例3分两步,每步安排一个工人值班,第1步排定的工人,第2步不再排此人.引伸1:用1,2,3,4,5可组成多少个三位数?(各位上的数字允许重复)(5×5×5×5=625)引伸2:用数字1,2,3可写出多少个小于1000的正整数?(各位上的数字允许重复)(3+32+33=39)引伸3:集合A=｛a,b,c,d,e｝,集合B=｛1,2,3｝,问A到B的不同映射f共有多少个?B到A的映射g共有多少个?(35,53)引伸4:将3封信投入4个不同的邮筒的投法共有多少种?(43)引伸5:4名学生从3个不同的楼梯下楼的方法数.(34)例3、如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为()A.180B.160C.96D.60用心爱心专心115号编辑①③④②①②③④④③②①图一图二图三引伸:若变为图二,图三呢?(240种,5×4×4×4=320种)例4、如下图,共有多少个不同的三角形?分析:所有不同的三角形可分为三类”第一类:其中有两条边是原五边形的边,这样的三角形共有5个第二类:其中有且只有一条边是原五边形的边,这样的三角形共有5×4=20个第三类:没有一条边是原五边形的边,即由五条对角线围成的三角形,共有5+5=10个由分类计数原理得,不同的三角形共有5+20+10=35个.例5、75600有多少个正约数?有多少个奇约数?分析:75600的约数就是能整除75600的整数,所以本题就是分别求能整除75600的整数和奇约数的个数.75600=24×33×52×7(1)75600的每个约数都可以写成的形式,其中,,,于是,要确定75600的一个约数,可分四步完成,即分别在各自的范围内任取一个值,这样有5种取法,有4种取法,有3种取法,有2种取法,根据分步计数原理得约数的个数为5×4×3×2=120个.(2)奇约数中步含有2的因数,因此75600的每个奇约数都可以写成的形式,同上奇约数的个数为4×3×2=24个.引伸1:4名学生分配到3个车间去劳动,共有多少中不同的分配方案?(34)引伸2:求集合｛1,2,3,4,5｝的子集的个数.在集合｛1,2,3,4,5｝的子集中,每个元素都只有出现和不出现这2种可能,所以这个集合的子集的个数为2×2×2×2×2=25=32个.三、小结:分类计数原理和分步计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题,区别在于:分类计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相互独立,每一种方法只属于某一类,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法相互依存,某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤,只有各个步骤都完成才算做完这件事.四、作业:教材第87～88页习题第4、5题.用心爱心专心115号编辑
