3．2.1直线的方向向量与平面的法向量直线的方向向量a1，a2，a3…an是一组非零共线向量，表示向量a1的有向线段所在直线与直线l平行．问题1：表示向量a2，a3，…an的有向线段所在直线与直线l的关系怎样？提示：平行或重合．问题2：如何表示a1，a2…an与直线l的关系呢？提示：利用一个向量来表示直线l的方向，a1，a2，…an与该向量共线．直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫做直线l的方向向量.平面的法向量直线l与平面α垂直，l1，l2是平面α内的两条直线．问题1：表示直线l的方向向量的有向线段所在的直线与平面α是否垂直？提示：垂直．因为这些直线与l平行或重合．问题2：直线l的方向向量与直线l1，l2的方向向量是否垂直？提示：垂直．1．如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α.此时，我们把向量n叫做平面α的法向量．2．与平面垂直的直线叫做平面的法线．因此，平面的法向量就是平面法线的方向向量．1．一条直线有无数个方向向量，它们共线．一个平面有无数个法向量，它们也共线．2．平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量．3．给定一点A和一个向量a，那么过点A，以向量a为法向量的平面是惟一的．利用直线方向向量和平面的法向量判定线面位置关系[例1]根据下列条件，分别判定相应直线与平面、平面与平面的位置关系：(1)平面α，β的法向量分别是u＝(－1,1，－2)，v＝；(2)直线l的方向向量a＝(－6,8,4)，平面α的法向量u＝(2,2，－1)．[思路点拨]利用方向向量与法向量的平行或垂直来判断线、面位置关系．[精解详析](1) u＝(－1,1，－2)，v＝，∴u·v＝(－1,1，－2)·＝－3＋2＋1＝0，∴u⊥v，故α⊥β.(2) u＝(2,2，－1)，a＝(－6,8,4)，∴u·a＝(2,2，－1)·(－6,8,4)＝－12＋16－4＝0，∴u⊥a，故l⊂α或l∥α.[一点通]1．两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)．2．直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行．3．两个平面的法向量共线时，两平面平行．1．若两条直线l1、l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)，则l1与l2的位置关系为________．解析： b＝－2a，∴a∥b，即l1∥l2或e1与e2重合．答案：平行或重合2．根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：(1)直线l1，l2的方向向量分别是a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2)；(2)平面α，β的法向量分别是u＝(1,3,0)，v＝(－3，－9，0)；(3)直线l的方向向量，平面α的法向量分别是a＝(1，－4，－3)，u＝(2,0,3)；(4)直线l的方向向量，平面α的法向量分别是a＝(3,2,1)，u＝(－1,2，－1)．解：(1) a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2)，∴a·b＝8－6－2＝0，∴a⊥b，即l1⊥l2.(2) u＝(1,3,0)，v＝(－3，－9,0)，∴v＝－3u，∴v∥u，即α∥β.(3) a＝(1，－4，－3)，u＝(2,0,3)，∴a·u≠0且a≠ku(k∈R)，∴a与u既不共线也不垂直，即l与α相交但不垂直．(4) a＝(3,2,1)，u＝(－1,2，－1)，∴a·u＝－3＋4－1＝0，∴a⊥u，即l⊂α或l∥α.平面的法向量的求解及应用[例2]已知点A(3,0,0)，B(0,4,0)，C(0,0,5)，求平面ABC的一个单位法向量．[思路点拨]可先求出一个法向量，再除以该向量的模，便可得到单位法向量．[精解详析]由于A(3,0,0)，B(0,4,0)，C(0,0,5)，所以＝(－3,4,0)，＝(－3,0,5)．设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则有n·＝0，且n·＝0，即取z＝1，得x＝，y＝，于是n＝.又|n|＝，所以平面α的单位法向量是n0＝±.[一点通]求平面的法向量的方法与步骤：(1)求平面的法向量时，要选取两相交向量、.(2)设平面法向量的坐标为n＝(x，y，z)．(3)联立方程组并解答．(4)求出的向量中三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定某个坐标为常数而得到其他坐标．(常数不能为0)3．已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，试求平面α的一个法向量．解： A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，∴＝(1，－2，－4)，＝(2，－4，－3)．设平面α的一个法向量是n＝(x，y，z)．依题意应有n·＝0且n·＝0.即解得z＝0，且x＝2y.令x＝2，则y＝1∴平面α的一个法向量...
