高中数学 第1部分 第3章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.3 空间向量基本定理讲义（含解析）苏教版选修2-1-苏教版高二选修2-1数学教案VIP免费

3.1.3空间向量基本定理空间向量基本定理某次反恐演习中，一特别行动小组获悉：“恐怖分子”将“人质”隐藏在市华联超市往南1000m，再往东600m处的某大厦5楼(每层楼高3.5m)，行动小组迅速赶到目的地，完成解救“人质”的任务．“人质”的隐藏地由华联超市“南1000m”、“东600m”、“5楼”这三个量确定，设e1是向南的单位向量，e2是向东的单位向量，e3是向上的单位向量．问题：请把“人质”的位置用向量p表示出来．提示：p＝1000e1＋600e2＋14e3.1．空间向量基本定理如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使p＝xe1＋ye2＋ze3.2．推论设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得＝x＋y＋z.基底空间任何一个向量，都可以用空间任意三个向量惟一表示吗？提示：不一定，由空间向量基本定理知，只有三个向量e1，e2，e3不共面时，空间任何一向量才可以用e1，e2，e3惟一表示，否则不可能表示．1．基底和基向量如果三个向量e1、e2、e3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量e1、e2、e3线性表示，我们把{e1，e2，e3}称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫做基向量．2．正交基底和单位正交基底如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底．特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i，j，k}表示．1．空间向量基本定理表明，用空间三个不共面向量组{a，b，c}可以线性表示出空间的任意一个向量，而且表示的结果是惟一的．2．空间中的基底是不惟一的，空间中任意三个不共面向量均可作为空间向量的基底．基底的概念[例1]若{a，b，c}是空间的一个基底．试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底．[思路点拨]判断a＋b，b＋c，c＋a是否共面，若不共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基底．[精解详析]假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ、μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c. {a，b，c}为基底，∴a，b，c不共面．∴此方程组无解，∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．[一点通]空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底，所以空间中的基底有无穷多个．但是空间中的基底一旦选定，某一向量对这一基底的线性表示只有一种即在基底{a，b，c}下，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.证明三个向量能否构成空间的一个基底，就是证明三个向量是否不共面，证明三个向量不共面常用反证法并结合共面向量定理来证明．1．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底．给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间的基底的向量组有________个．解析：如图所设a＝，b＝，c＝，则x＝，y＝，z＝，a＋b＋c＝.由A，B1，D，C四点不共面可知向量x，y，z也不共面．同理可知b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，可以作为空间的基底．因为x＝a＋b，故a，b，x共面，故不能作为基底．答案：32．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底？若能，试以此基底表示向量＝2e1－e2＋3e3；若不能，请说明理由．解：假设、、共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x、y使＝x＋y成立．∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3. {e1，e2，e3}是空间的一个基底，∴e1，e2，e3不共面，∴此方程组无解，即不存在实数x、y使＝x＋y，∴，，不共面．故{，，}能作为空间的一个基底，设＝p＋q＋z，则有2e1－e2＋3e3＝p(e1＋2e2－e3)＋q(－3e1＋e2＋2e3)＋z(e1＋e2－e3)＝(p－3q＋z)e1＋(2p＋q＋z)e2＋(－p＋2q－z)e3. {e1，e2，e3}为空间的一个基底，∴解得∴＝17－5－30.用基底表示向量[例2]如图所示，空间四边形OABC中，G、H分别是△ABC、△OBC的重心，设＝a，＝b，＝c，试用向量a、b、c表示向量.[思路点拨]＝－→用表示→用、表示，用、表示→用表示→用、表示→...