高中数学 第2章 概率 2.5.1 离散型随机变量的均值讲义 苏教版选修2-3-苏教版高二选修2-3数学教案VIP专享VIP免费

2.5.1离散型随机变量的均值学习目标核心素养1.了解取有限值的离散型随机变量的均值的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值．(重点、难点)2．掌握随机变量均值的线性性质及两点分布、超几何分布和二项分布的均值公式．(重点)3．能运用离散型随机变量的均值来解决一些简单的实际问题．(重点)1.经历概念构建，提升逻辑推理素养．2．借助实际应用，培养数学抽象素养.1．离散型随机变量的均值(数学期望)的定义若离散型随机变量X的概率分布如下表所示，Xx1x2…xnPp1p2…pn则称x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为离散型随机变量X的均值或数学期望，记为E(X)或μ，即E(X)＝μ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn，其中，xi是随机变量X的可能取值，pi是概率，pi≥0，i＝1,2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1.2．超几何分布、二项分布的数学期望(1)超几何分布：若X～H(n，M，N)，则E(X)＝.(2)二项分布：若X～B(n，p)，则E(X)＝np.思考1：离散型随机变量的均值与样本平均值之间的关系如何？[提示]①区别：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均数是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化；②联系：对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值．思考2：随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其值随X的变化而变化吗？[提示]随机变量的均值是常数，其值不随X的变化而变化．1．现有一个项目，对该项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为，，.随机变量X表示对此项目投资10万元一年后的利润，则X的均值为()A．1.18B．3.55C．1.23D．2.38A[因为X的所有可能取值为1.2,1.18,1.17，P(X＝1.2)＝，P(X＝1.18)＝，P(X＝1.17)＝，所以X的概率分布列为X1.21.181.17P则E(X)＝1.2×＋1.18×＋1.17×＝1.18.]2．已知离散型随机变量X的分布列为：X123P则X的数学期望E(X)＝________.[E(X)＝1×＋2×＋3×＝.]3．若随机变量X服从二项分布B，则E(X)的值为________．[E(X)＝np＝4×＝.]两点分布、二项分布、超几何分布的期望【例1】(1)老师把4本不同的数学参考书和2本不同的英语参考书发给甲、乙两位同学，每人3本，假设老师拿每本书是随机的，用随机变量X表示同学甲得到的英语书的本数，则X的数学期望为________．(2)某运动员投篮命中率为p＝0.6.①求投篮1次时命中次数X的数学期望．②求重复5次投篮时，命中次数Y的数学期望．(1)1[这是一个超几何分布问题，实际上是从6本书(其中英语书有2本)中取3本的问题．法一：依题意知，X的可能取值为0,1,2，且P(X＝k)＝，k＝0,1,2，故X的分布列如表所示．X012P从而E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.法二：依其数学模型知，X服从超几何分布，且n＝3，M＝2，N＝6，则E(X)＝＝＝1.](2)[解]①投篮1次，命中次数X的分布列如表：X01p0.40.6则F(X)＝p＝0.6.②由题意得，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即Y～B(5,0.6)，则E(Y)＝np＝5×0.6＝3.1．(变换条件)求重复10次投篮时，命中次数ξ的数学期望．[解]重复投篮10次，命中次数ξ服从二项分布，即ξ～B(10，0.6)∴E(ξ)＝10×0.6＝6.2．(变设问)重复5次投篮时，命中次数为Y，随机变量η＝5Y＋2，求E(η)．[解]E(η)＝E(5Y＋2)＝5E(Y)＋2＝5×3＋2＝17.1．通过本例可以看出，若随机变量服从超几何分布或二项分布，利用各自的数学期望公式求均值更方便．2．超几何分布、二项分布的数学期望的求法步骤：(1)判断随机变量是否服从超几何分布或二项分布；(2)找出相应的参数；(3)利用数学期望公式求E(X)．定义法求离散型随机变量的数学期望【例2】盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；(2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E(X)．[思路探究](1)利用古典概型求解．(2)先写出X的可能取值，计算出概率并列出概率分布，利用数学期望定义求解．[解](1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，所以P＝＝＝.(2)随机变量X所有可能的取值为2,3,4.{X＝4}表示的随机...