1.4空间向量的应用1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系第1课时空间向量与平行关系学习目标核心素养1.了解空间中点、直线和平面的向量表示．2．掌握直线的方向向量，平面的法向量的概念及求法．(重点)3．熟练掌握用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系．(重点、难点)1.通过空间中点、直线和平面的向量表示的学习，培养学生直观想象和逻辑推理的核心素养．2．通过直线的方向向量和平面法向量的学习，培养学生数学运算的核心素养．3．借助利用空间向量解决平行问题的学习，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养.(1)如何确定一个点在空间的位置？(2)在空间中给一个定点A和一个定方向(向量)，能确定一条直线在空间的位置吗？(3)给一个定点和两个定方向(向量)，能确定一个平面在空间的位置吗？(4)给一个定点和一个定方向(向量)，能确定一个平面在空间的位置吗？1．空间中点、直线和平面的向量表示点P的位置向量在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P可以用向量OP表示，我们把向量OP称为点P的位置向量.空间直线的向量表示式a是直线l的方向向量，在直线l上取AB＝a，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OP＝OA＋ta，也可以表示为OP＝OA＋tAB.这两个式子称为空间直线的向量表示式.空间平面ABC的向量表示式设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面内任意一点，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使得OP＝xa＋yb.那么取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P在平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使OP＝OA＋xAB＋yAC，这就是空间平面ABC的向量表示式.2.直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量的定义直线的方向向量是指和这条直线_平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个．(2)平面的法向量的定义直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．思考：直线的方向向量(平面的法向量)是否唯一？[提示]不唯一，直线的方向向量(平面的法向量)有无数个，它们分别是共线向量．3．空间中平行关系的向量表示线线平行设两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别为u1＝(a1，b1，c1)，u2＝(a2，b2，c2)，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)线面平行设l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，α的法向量为n＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔u·n＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0面面平行设α，β的法向量分别为n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔n1∥n2⇔(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线l的方向向量a一定是单位向量．()(2)直线l的一个方向向量为a＝(－1,2,1)，平面α的一个法向量为n＝(－1，－1,1)，l⊄α，则l∥α.()(3)若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β.()(4)若点A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的向量参数方程可以为AP＝tAB.()[提示](1)×(2)√(3)√(4)√2．已知向量a＝(2,3,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2则()A．x＝，y＝15B．x＝3，y＝C．x＝3，y＝15D．x＝，y＝D[由l1∥l2，得a∥b，即＝＝.解得x＝，y＝，故选D.]3．若直线l的方向向量a＝(2,2，－1)，平面α的法向量μ＝(－6,8,4)，则直线l与平面α的位置关系是________．l⊂α或l∥α[ μ·a＝－12＋16－4＝0，∴μ⊥a，∴l⊂α或l∥α.]4．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝________.4[由α∥β得＝＝，解得k＝4.]求平面的法向量【例1】四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1.在如图所示的坐标系Axyz中，分别求平面SCD和平面SAB的一个法向量．[解]A(0,0,0)，D(1,0,0)，C(2,2,0)，S(0,0,2)． AD⊥平面SAB，∴AD＝(1,0,0)是平面SAB的一个法向量．设平面SCD的法向量为n＝(1，y，z)，则n·DC＝(1，y，z)·(1,2,0)＝1＋2y＝0，∴y＝－.又n·DS＝(1，y，z)·(－1,0,2)＝－1＋2z＝0，∴z＝.∴n＝即为平面SCD的一个法向量．求平面法向量的步骤(1)设法向量n＝(x，y，z)；(2)在已知平面内找两个不共线向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)；(3)建...
