1.3.2空间运算的坐标表示学习目标核心素养1.掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直．(重点)2．掌握空间向量的模，夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题．(重点、难点)1.通过空间向量的坐标运算及空间向量夹角及长度的学习，培养学生的数学运算核心素养．2．借助利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养.平面向量的坐标运算设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)a±b＝(a1±b1，a2±b2)，λa＝(λa1，λa2)(λ∈R)．a·b＝a1b1＋a2b2.(2)a∥b(b≠0)⇔a＝λb，即a1＝λb1，a2＝λb2.a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＝0.(3)|a|＝，AB＝(x2－x1，y2－y1)．cos〈a，b〉＝.思考：你能由平面向量的坐标运算类比得到空间向量的坐标运算吗？它们是否成立？为什么？1．空间向量运算的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示：运算坐标表示加法a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)减法a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数乘λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R数量积a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b32.空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则平行(a∥b)a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔垂直(a⊥b)a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)模|a|＝＝夹角公式cos〈a，b〉＝＝思考：若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b一定有＝＝成立吗？[提示]当b1，b2，b3均不为0时，＝＝成立．3．向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则(1)AB＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)；(2)dAB＝|AB|＝.1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a∥b，则＝＝.()(2)四边形ABCD是平行四边形，则向量AB与DC的坐标相同．()(3)若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.()[提示](1)×(2)√(3)√2．已知向量a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，则4a＋2b等于()A．(16,0,4)B．(8，－16,4)C．(8,16,4)D．(8,0,4)D[4a＝(12，－8,4)，2b＝(－4,8,0)，∴4a＋2b＝(8,0,4)．]3．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是()A．1B．C．D．D[由a，b的坐标可得ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，两向量互相垂直则a·b＝0，即3×(k－1)＋2×k－2×2＝0，解得k＝.]4．若点A(0,1,2)，B(1,0,1)，则AB＝__________，|AB|＝________.(1，－1，－1)[AB＝(1，－1，－1)，|AB|＝＝.]空间向量的坐标运算【例1】(1)若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·2b＝－2，则x＝________.(2)已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，求a＋b，a－b，a·b，(2a)·(－b)，(a＋b)·(a－b)．(1)2[c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)，由(c－a)·2b＝－2得2(1－x)＝－2，解得x＝2.](2)[解]a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2,2)；a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2,0，－6)；a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7；(2a)·(－b)＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14；(a＋b)·(a－b)＝(2，－2,2)·(2,0，－6)＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8.进行空间向量的数量积坐标运算的技巧利用向量坐标运算解决问题的关键是熟记向量坐标运算的法则，同时掌握下列技巧．(1)在运算中注意相关公式的灵活运用，如(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2，(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)2等．(2)进行向量坐标运算时，可以先代入坐标再运算，也可先进行向量式的化简再代入坐标运算，如计算(2a)·(－b)，既可以利用运算律把它化成－2(a·b)，也可以求出2a，－b后，再求数量积；计算(a＋b)·(a－b)，既可以求出a＋b，a－b后，求数量积，也可以把(a＋b)·(a－b)写成a2－b2后计算．[跟进训练]1．(1)已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为________．(2)已知M(1,2,3)，N(2,3,4)，P(－1,2，－3)，若|PQ|＝3|MN|且PQ...
