第1章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其线性运算学习目标核心素养1.理解空间向量的概念．(难点)2.掌握空间向量的线性运算．(重点)3.掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用．(重点、难点)1.通过空间向量有关概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养.2.借助向量的线性运算、共线向量及共面向量的学习，提升学生的直观想象和逻辑推理的核心素养.国庆期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？图1图2如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那么他实际发生的位移是什么？又如何表示呢？1．空间向量(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)长度或模：空间向量的大小．(3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：AB，其模记为|a|或|AB|.2．几类常见的空间向量名称方向模记法零向量任意00单位向量任意1相反向量相反相等a的相反向量：－aAB的相反向量：BA相等向量相同相等a＝b3.空间向量的线性运算(1)向量的加法、减法空间向量的运算加法OB＝OA＋OC＝a＋b减法CA＝OA－OC＝a－b加法运算律①交换律：a＋b＝b＋a②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(2)空间向量的数乘运算①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍．②运算律a．结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.b．分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.思考：向量运算的结果与向量起点的选择有关系吗？[提示]没有关系．4.共线向量(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．(2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a.(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb.(4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得OP＝λa.5．共面向量(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使AP＝xAB＋yAC或对空间任意一点O，有OP＝OA＋xAB＋yAC.思考：(1)空间中任意两个向量一定是共面向量吗？(2)若空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，满足OP＝OA＋OB＋OC，则点P与点A，B，C是否共面？[提示](1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面的两个向量，因此一定是共面向量．(2)由OP＝OA＋OB＋OC得OP－OA＝(OB－OA)＋(OC－OA)即AP＝AB＋AC，因此点P与点A，B，C共面．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间向量a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c．()(2)相等向量一定是共线向量．()(3)三个空间向量一定是共面向量．()(4)零向量没有方向．()[提示](1)×若b＝0时，a与c不一定平行．(2)√相等向量一定共线，但共线不一定相等．(3)×空间两个向量一定是共面向量，但三个空间向量可能是共面的，也可以是不共面的．(4)×零向量有方向，它的方向是任意的．2．如图所示，在四棱柱ABCDA1B1C1D1所有的棱中，可作为直线A1B1的方向向量的有()A．1个B．2个C．3个D．4个D[共四条AB，A1B1，CD，C1D1.]3．点C在线段AB上，且|AB|＝5，|BC|＝3，AB＝λBC，则λ＝________.－[因为C在线段AB上，所以AB与BC方向相反，又因|AB|＝5，|BC|＝3，故λ＝－.]4．在三棱锥ABCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则AB＋BC－DE－AD化简的结果为________．0[延长DE交边BC于点F，连接AF，则有AB＋BC＝AF，DE＋AD＝AD＋DF＝AF，故AB＋BC－DE－AD＝0.]空间向...
