1.4全称量词与存在量词学习目标核心素养1．理解全称量词与存在量词的意义以及全称命题和特称命题的意义．2．掌握全称命题与特称命题真假性的判定．(重点、难点)3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(重点、易混点)1．通过全称量词、存在量词以及全称命题、特称命题相关概念的学习，培养学生数学抽象核心素养．2．借助相关命题的真假判断及由命题的真假求参数，提升学生的逻辑推理及数学运算核心素养．1．全称量词与全称命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)含有全称量词的命题叫做全称命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)．2．存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题，特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”，可用符号简记为“∃x0∈M，p(x0)”．思考：(1)“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是特称命题还是全称命题？请改写成相应命题的形式．(2)“不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任意实数x恒成立”是特称命题还是全称命题？请改写成相应命题的形式．[提示](1)是特称命题，可改写为“存在x0∈R，使ax＋2x0＋1＝0”．(2)是全称命题，可改写成：“∀x∈R，(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0”．3．含有一个量词的命题的否定一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定p：∃x0∈M，p(x0)；特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定p：∀x∈M，p(x)．全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．1．下列命题中全称命题的个数是()①任意一个自然数都是正整数；②所有的素数都是奇数；③有的等差数列也是等比数列；④三角形的内角和是180°．A．0B．1C．2D．3D[命题①②含有全称量词，而命题④可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，故有三个全称命题．]2．下列命题中特称命题的个数是()①至少有一个偶数是质数；②∃x0∈R，log2x0＞0；③有的向量方向不确定．A．0B．1C．2D．3D[①中含有存在量词“至少”，所以是特称命题；②中含有存在量词符号“∃”，所以是特称命题；③中含有存在量词“有的”，所以是特称命题．]3．命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则“p”形式的命题是()A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实根[答案]C4．命题“∃x0∈R，x＋x0＋1≤0”的否定是________．[答案]∀x∈R，x2＋x＋1>0全称命题和特称命题的概念及真假判断【例1】指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假．(1)∀x∈N,2x＋1是奇数；(2)存在一个x0∈R，使＝0；(3)能被5整除的整数末位数是0；(4)有一个角α，使sinα>1．[解](1)是全称命题，因为∀x∈N,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．(2)是特称命题．因为不存在x0∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题．(3)是全称命题．因为25能被5整除，但末位数不是0，因此该命题是假命题．(4)是特称命题，因为∀α∈R，sinα∈[－1,1]，所以该命题是假命题．1．判断命题是全称命题还是特称命题的方法(1)分析命题中是否含有量词；(2)分析量词是全称量词还是存在量词；(3)若命题中不含量词，要根据命题的意义去判断．2．全称命题与特称命题真假的判断方法(1)要判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．(2)要判定特称命题“∃x0∈M，p(x0)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个特称命题就是假命题．[跟进训练]1．(1)判断下列命题是全称命题还是特称命题？①凸多边形的外角和等于360°；②有的向量方向不定；③对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1...
