1.3.2利用导数研究函数的极值学习目标核心素养1.理解极值、极值点的概念,明确极值存在的条件.(易混点)2.会求函数的极值.(重点)3.会求函数在闭区间上的最值.4.能利用导数解决与函数极值、最值相关的综合问题.(难点)1.通过学习函数的极值、极值点、最值等概念,培养学生的数学抽象素养.2.借助利用导数求函数的极值、最值,提升学生的逻辑推理、数学运算素养.一、极值点和极值的概念名称定义表示法极值极大值已知函数y=f(x),设x0是定义域(a,b)内任一点,如果对x0附近的所有点x,都有f(x)f(x0),则称函数f(x)在点x0处取极小值记作y极小=f(x0)极值点极大值点与极小值点统称为极值点二、函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值假设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续不间断的曲线,则该函数在[a,b]一定能够取得最大值与最小值,若函数在[a,b]内是可导的,则该函数的最值必在极值点或区间端点取得.1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数f(x)=x3+ax2-x+1必有2个极值.()(2)在可导函数的极值点处,切线与x轴平行或重合.()(3)函数f(x)=有极值.()[答案](1)√(2)√(3)×2.函数f(x)=2x-cosx在(-∞,+∞)上()A.无最值B.有极值C.有最大值D.有最小值[解析]f′(x)=2+sinx>0恒成立,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,无极值,也无最值.[答案]A3.下列说法正确的是________.(填序号)①函数的最大值一定是函数的极大值;②开区间上的单调连续函数无最值;③函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得.[答案]②求函数的极值【例1】求下列函数的极值.(1)f(x)=x2-2x-1;(2)f(x)=-x3+-6;(3)f(x)=|x|.[解](1)f′(x)=2x-2,令f′(x)=0,解得x=1.因为当x<1时,f′(x)<0,当x>1时,f′(x)>0,所以函数在x=1处有极小值,且y极小=-2.(2)f′(x)=x3-2x2+x=x(x2-2x+1)=x(x-1)2.令f′(x)=0,解得x1=0,x2=1.所以当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,0)0(0,1)1(1,+∞)f′(x)-0+0+f(x)单调递减↘极小值单调递增↗无极值单调递增↗所以当x=0时,函数取得极小值,且y极小=-6.(3)f(x)=|x|=显然函数f(x)=|x|在x=0处不可导,当x>0时,f′(x)=x′=1>0,函数f(x)=|x|在(0,+∞)内单调递增;当x<0时,f′(x)=(-x)′=-1<0,函数f(x)=|x|在(-∞,0)内单调递减.故当x=0时,函数取得极小值,且y极小=0.1.讨论函数的性质要注意定义域优先的原则.2.极值点与导数的关系(1)可导函数的极值点一定是导数值为0的点,导数值为0的点不一定是极值点.点x0是可导函数f(x)在区间(a,b)内的极值点的充要条件:①f′(x0)=0;②点x0两侧f′(x)的符号不同.(2)不可导的点可能是极值点(如本例(3)中x=0点),也可能不是极值点(如y=,在x=0处不可导,在x=0处也取不到极值),所以函数的极值点可能是f′(x)=0的根,也可能是不可导点.1.已知函数f(x)=x2-2lnx,则f(x)的极小值是__________.[解析] f′(x)=2x-,且函数定义域为(0,+∞),令f′(x)=0,得x=1或x=-1(舍去),当x∈(0,1)时,f′(x)<0,当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,∴当x=1时,函数有极小值,极小值为f(1)=1.[答案]1利用函数的极值求参数【例2】已知f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1与x=-时都取得极值.(1)求a,b的值;(2)若f(-1)=,求f(x)的单调区间和极值.[思路探究](1)求导函数f′(x),则由x=1和x=-是f′(x)=0的两根及根与系数的关系求出a,b.(2)由f(-1)=求出c,再列表求解.[解](1)f′(x)=3x2+2ax+b,令f′(x)=0,由题设知x=1与x=-为f′(x)=0的解.∴∴a=-,b=-2.(2)由(1)知f(x)=x3-x2-2x+c,由f(-1)=-1-+2+c=,得c=1.∴f(x)=x3-x2-2x+1.∴f′(x)=3x2-x-2.令f′(x)=0,得x=-或x=1,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:x-1(1,+∞)f′(x)+0-0+f(x)单调递增↗单调递减↘-单调递增↗∴f(x)的递增区间为和(1,...