1.3.2函数的极值与导数学习目标核心素养1.了解极大值、极小值的概念．(难点)2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．(重点、易混点)3．会用导数求函数的极大值、极小值．(重点)1.通过极值点与极值概念的学习，体现了数学抽象的核心素养．2．借助函数极值的求法，提升学生的逻辑推理、数学运算的核心素养.1．极值点与极值(1)极小值点与极小值若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)极大值点与极大值若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．思考：导数为0的点一定是极值点吗？[提示]不一定，如f(x)＝x3，f′(0)＝0,但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．所以，当f′(x0)＝0时，要判断x＝x0是否为f(x)的极值点，还要看f′(x)在x0两侧的符号是否相反．2．求可导函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0.当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．1．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点C[设y＝f′(x)的图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f(x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值．]2．函数f(x)＝－的极值点为()A．0B．－1C．0或1D．1D[ f′(x)＝x3－x2＝x2(x－1)，由f′(x)＝0得x＝0或x＝1.又当x＞1时f′(x)＞0,0＜x＜1时f′(x)＜0，∴1是f(x)的极小值点．又x＜0时f′(x)＜0，故x＝0不是函数的极值点．]3．下列关于函数的极值的说法正确的是()A．导数值为0的点一定是函数的极值点B．函数的极小值一定小于它的极大值C．函数在定义域内有一个极大值和一个极小值D．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数D[由极值的概念可知只有D正确．]4．函数f(x)＝x3－3x2＋1的极小值点为________．2[由f′(x)＝3x2－6x＝0，解得x＝0或x＝2.列表如下：x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗∴当x＝2时，f(x)取得极小值．]求函数的极值点和极值角度1不含参数的函数求极值【例1】求下列函数的极值(1)y＝x3－3x2－9x＋5；(2)y＝x3(x－5)2.[解](1) y′＝3x2－6x－9，令y′＝0，即3x2－6x－9＝0，解得x1＝－1，x2＝3.当x变化时，y′，y的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)y′＋0－0＋y↗极大值↘极小值↗∴当x＝－1时，函数y＝f(x)有极大值，且f(－1)＝10；当x＝3时，函数y＝f(x)有极小值，且f(3)＝－22.(2)y′＝3x2(x－5)2＋2x3(x－5)＝5x2(x－3)(x－5)，令y′＝0，即5x2(x－3)(x－5)＝0，解得x1＝0，x2＝3，x3＝5.当x变化时，y′与y的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0,3)3(3,5)5(5，＋∞)y′＋0＋0－0＋y↗无极值↗极大值108↘极小值0↗∴x＝0不是y的极值点；x＝3是y的极大值点，y极大值＝f(3)＝108；x＝5是y的极小值点，y极小值＝f(5)＝0.[跟进训练]1．求函数f(x)＝x3－4x＋4的极值．[解]由题意可知f′(x)＝x2－4.解方程x2－4＝0，得x1＝－2，x2＝2.由f′(x)＞0得x＜－2或x＞2；由f′(x)＜0得－2＜x＜2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗↘－↗由表可知：当x＝－2时，f(x)有极大值f(－2)＝.当x＝2时，f(x)有极小值f(2)＝－.角度2含参数的函数求极值【例2】已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，当a∈R且a≠时，求函数的极值．思路探究：―――――――→―→[解]f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2.由a≠知，－2a≠a...
