高中数学 第1章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的作用 1.3.2 极大值与极小值讲义（含解析）苏教版选修2-2-苏教版高二选修2-2数学教案VIP免费

1．3.2极大值与极小值[对应学生用书P16]极值已知y＝f(x)的图象(如图)．问题1：当x＝a时，函数值f(a)有何特点？提示：在x＝a的附近，f(a)最小，f(a)并不一定是y＝f(x)的最小值．问题2：当x＝b时，函数值f(b)有何特点？提示：在x＝b的附近，f(b)最大，f(b)并不一定是y＝f(x)的最大值．1．观察下图中的函数图象，发现函数图象在点P处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”(函数由单调递增变为单调递减)，这时在点P附近，点P的位置最高，亦即f(x1)比它附近点的函数值都要大，我们称f(x1)为函数f(x)的一个极大值．2．类似地，上图中f(x2)为函数的一个极小值．3．函数的极大值、极小值统称为函数的极值．极值与导数的关系观察图(Ⅰ)．问题1：试分析在函数取得极大值的x1的附近左右两侧导数的符号有什么变化？提示：左侧导数大于0，右侧导数小于0.问题2：试分析在函数取得极小值的x2的附近左右两侧导数的符号有什么变化？提示：左侧导数小于0，右侧导数大于0.1．极大值与导数之间的关系如下表：xx1左侧x1x1右侧f′(x)f′(x)>0f′(x)＝0f′(x)<0f(x)增极大值f(x1)减2．极小值与导数之间的关系如下表：xx2左侧x2x2右侧f′(x)f′(x)<0f′(x)＝0f′(x)>0f(x)减极小值f(x2)增1．极值是一个局部概念，它只是某个点的函数值与它附近的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在整个定义域内是最大或最小．2．函数的极值并不惟一(如图所示)．3．极大值和极小值之间没有确定的大小关系，如图所示，f(x1)是极大值，f(x4)是极小值，而f(x4)>f(x1)．求函数的极值[例1]求下列函数的极值：(1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5；(2)f(x)＝.[思路点拨]按求函数极值的步骤求解，要注意函数的定义域．[精解详析](1)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的定义域为R，且f′(x)＝3x2－6x－9.解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值10极小值－22因此，函数f(x)的极大值为f(－1)＝10；极小值为f(3)＝－22.(2)函数f(x)＝的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝.令f′(x)＝0，解得x＝e.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(0，e)e(e，＋∞)f′(x)＋0－f(x)极大值因此函数f(x)的极大值为f(e)＝，没有极小值．[一点通](1)求可导函数极值的步骤：①求导数f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)的值在方程f′(x)＝0的根左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．(2)注意事项：①不要忽视函数的定义域；②要正确地列出表格，不要遗漏区间和分界点．1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有________个极小值．解析：由图可知，在区间(a，x1)，(x2,0)，(0，x3)内f′(x)>0；在区间(x1，x2)，(x3，b)内f′(x)<0.即f(x)在(a，x1)内单调递增，在(x1，x2)内单调递减，在(x2，x3)内单调递增，在(x3，b)内单调递减．所以，函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极小值，极小值为f(x2)．答案：12．关于函数f(x)＝x3－3x2有下列命题，其中正确命题的序号是________．①f(x)是增函数；②f(x)是减函数，无极值；③f(x)的增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，减区间为(0,2)；④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．解析：f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，则x＝0或x＝2.易知当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；当x∈(0,2)时，f′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，减区间是(0,2)；极大值为f(0)，极小值为f(2)．答案：③④3．设f(x)＝alnx＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值．解：(1)因f(x)＝alnx＋＋x＋1，故f′(x)＝－＋.由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f′(1)＝0，从而a－＋＝0，解得a＝－1.(2)由(1)知f(x)＝－lnx＋＋x＋1(x>0)，f′(x)＝－－＋＝＝.令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－(因x2＝－不在定义域内，舍去)．当x∈(0,1)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,1)上为...