1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)学习目标核心素养1.了解复合函数的概念(易混点)．2．理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数(重点、易错点).1.通过复合函数求导公式的学习，培养学生的数学抽象、逻辑推理的核心素养．2．借助复合函数求导及导数运算法则的综合应用，提升学生的数学运算的核心素养.1．复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．思考：函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？[提示]函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1两个函数复合而成的．2．复合函数的求导法则复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．1．已知函数f(x)＝cosx＋lnx，则f′(1)的值为()A．1－sin1B．1＋sin1C．sin1－1D．－sin1A[因为f′(x)＝－sinx＋，所以f′(1)＝－sin1＋＝1－sin1.故选A.]2．函数y＝的导数是()A．y′＝B．y′＝C．y′＝－D．y′＝－C[ y＝，∴y′＝－2××(3x－1)′＝－.]3．函数y＝ln(x－2)的导数是________．[答案]y′＝4．函数y＝是由________三个函数复合而成的．[答案]y＝，u＝v2＋1，v＝sinx复合函数的导数【例1】求下列函数的导数．(1)y＝e2x＋1；(2)y＝；(3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝sin3x＋sin3x.[解](1)函数y＝e2x＋1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数，∴y′x＝y′u·ux′＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.(2)函数y＝可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数，∴y′x＝y′u·ux′＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4＝－6(2x－1)－4＝－.(3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝＝.(4)函数y＝sin3x可看作函数y＝u3和u＝sinx的复合函数，函数y＝sin3x可看作函数y＝sinv和v＝3x的复合函数．∴y′x＝(u3)′·(sinx)′＋(sinv)′·(3x)′＝3u2·cosx＋3cosv＝3sin2xcosx＋3cos3x.1．解答此类问题常犯两个错误(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成．2．复合函数求导的步骤[跟进训练]1．求下列函数的导数．(1)y＝103x－2；(2)y＝ln(ex＋x2)；(3)y＝2sin；(4)y＝.[解](1)令u＝3x－2，则y＝10u，所以y′x＝y′u·ux′＝10uln10·(3x－2)′＝3×103x－2ln10.(2)令u＝ex＋x2，则y＝lnu，所以y′x＝y′u·u′x＝·(ex＋x2)′＝·(ex＋2x)＝.(3)设y＝2sinu，u＝3x－，则y′x＝y′u·u′x＝2cosu×3＝6cos.(4)设y＝u－，u＝1－2x，则y′x＝y′u·u′x＝′·(1－2x)′＝－u×(－2)＝(1－2x).复合函数与导数的运算法则的综合应用【例2】求下列函数的导数．(1)y＝；(2)y＝x；(3)y＝xcossin.[解](1) (ln3x)′＝×(3x)′＝，∴y′＝＝＝.(2)y′＝(x)′＝x′＋x()′＝＋＝.(3) y＝xcossin＝x(－sin2x)cos2x＝－xsin4x，∴y′＝＝－sin4x－cos4x·4＝－sin4x－2xcos4x.应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面：(1)中间变量的选取应是基本函数结构．(2)正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导．(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导．(4)善于把一部分表达式作为一个整体．(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．熟练后，就不必再写中间步骤．[跟进训练]2．求下列函数的导数．(1)y＝sin2；(2)y＝sin3x＋sinx3；(3)y＝；(4)y＝xln(1＋x)．[解](1) y＝，∴y′＝＝sinx.(2)y′＝(sin3x＋sinx3)′＝(sin3x)′＋(sinx3)′＝3sin2xcosx＋cosx3·3x2＝3sin2xcosx＋3x2cosx3.(3)y′＝＝＝.(4)y′＝x′ln(1＋x)＋x[ln(1＋x)]′＝ln(1＋x)＋.导数运算法则的综合应用[探究问题]1．若直线y＝x＋b与曲线y＝ex相切于点P，你能求出切点坐标及b的值吗？[提示]设P(x0，y0)，由题意可知y′|＝e，所以e＝1，即x0＝0，∴点P(0,1)．由点P(0,1)在直线y＝x＋b上可知b＝1.2．若点P是曲线y＝ex上的任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离？[提示]如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的...
