1．3.3最大值与最小值[对应学生用书P19]1．问题：如何确定你班哪位同学最高？提示：方法很多，可首先确定每个学习小组中最高的同学，再比较每组的最高的同学，便可确定班中最高的同学．2．如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．问题1：试说明y＝f(x)的极值．提示：f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极小值．问题2：你能说出y＝f(x)，x∈[a，b]的最值吗？提示：函数的最小值是f(a)，f(x2)，f(x4)中最小的，函数的最大值是f(b)，f(x1)，f(x3)中最大的．3．函数y＝g(x)，y＝h(x)在闭区间[a，b]的图象都是一条连续不断的曲线(如下图所示)．问题1：两函数的最大值和最小值分别是什么？提示：函数y＝g(x)的最大值为g(a)，最小值是其极小值g(c)；函数y＝h(x)的最大值为h(b)，最大值为h(a)．问题2：函数的最大值和最小值是否都在区间的端点处取得？提示：不一定．问题3：函数的极值与函数的最值是同一个问题吗？提示：不是．1．最大值与最小值(1)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数在定义域上的最大值．最大值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最大值，那么最大值惟一．(2)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数在定义域上的最小值．最小值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最小值，那么最小值惟一．2．求f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤(1)求f(x)在区间(a，b)上的极值；(2)将第(1)步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值．1．函数的最值是一个整体性的概念．函数极值是在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较．2．函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有惟一性，而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有，例如：常数函数就既没有极大值也没有极小值．3．极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取必定是极值．求函数的最大值与最小值[例1]求函数f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]上的最值．[思路点拨]→→→→→[精解详析]f′(x)＝－4x3＋4x，令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝－1，x＝0，x＝1.当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：x－3(－3，－1)－1(－1,0)0(0,1)1(1,2)2f′(x)＋0－0＋0－f(x)－60极大值4极小值3极大值4－5所以当x＝－3时，f(x)取最小值－60；当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4.[一点通]求函数的最值需要注意的问题：(1)用导数求函数的最值与求函数的极值方法类似，在给定区间是闭区间时，极值要和区间端点的函数值进行比较，并且要注意取极值的点是否在区间内；(2)当函数多项式的次数大于2或用传统方法不易求解时，可考虑用导数的方法求解．1．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m.则M－m＝________.解析：令f′(x)＝3x2－12＝0，解得x＝±2.计算f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，所以M＝24，m＝－8，故M－m＝32.答案：322．求函数f(x)＝ex(3－x2)在区间[2,5]上的最值．解： f(x)＝3ex－exx2，∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)＝－ex(x2＋2x－3)＝－ex(x＋3)(x－1)， 在区间[2,5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)<0，即函数f(x)在区间[2,5]上是单调递减函数，∴x＝2时，函数f(x)取得最大值f(2)＝－e2；x＝5时，函数f(x)取得最小值f(5)＝－22e5.已知函数的最值求参数[例2]已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在区间[－1,2]上的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．[思路点拨]根据导数与单调性之间的关系求解，由于f(x)既有最大值，又有最小值，因此a≠0，要注意对参数的取值情况进行讨论．[精解详析]由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常数函数，与题设矛盾．取导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)．令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍)．(1) 当a＞0时，如下表：x(－1,0)0(0,2)f′(x)＋0－f(x)最大值∴当x＝0时，f(x)取得最大值，f(0)＝3，∴b＝3....
