高中数学 第1章 导数及其应用 1.2 导数的运算 1.2.1 常见函数的导数讲义（含解析）苏教版选修2-2-苏教版高二选修2-2数学教案VIP免费

1.2.1常见函数的导数几个常见函数的导数已知函数(1)f(x)＝c，(2)f(x)＝x，(3)f(x)＝x2，(4)f(x)＝，(5)f(x)＝.问题1：函数f(x)＝x的导数是什么？提示： ＝＝＝1，∴当Δx→0时，→1，即x′＝1.问题2：函数f(x)＝的导数是什么？提示： ＝＝＝＝－，∴当Δx→0时，→－，即′＝－.1．(kx＋b)′＝k(k，b为常数)；2．C′＝0(C为常数)；3．(x)′＝1；4．(x2)′＝2x；5．(x3)′＝3x2；6.′＝－；7．()′＝.基本初等函数的导数公式1．(xα)′＝αxα－1(α为常数)；2．(ax)′＝axln_a(a>0，且a≠1)；3．(logax)′＝logae＝(a>0，且a≠1)；4．(ex)′＝ex；5．(lnx)′＝；6．(sinx)′＝cos_x；7．(cosx)′＝－sin_x.函数f(x)＝logax的导数公式为f′(x)＝(logax)′＝，当a＝e时，上述公式就变形为(lnx)′＝，即f(x)＝lnx是函数f(x)＝logax当a＝e时的特殊情况．类似地，还有f(x)＝ax与f(x)＝ex.求函数的导数[例1]求下列函数的导数．(1)y＝x8；(2)y＝；(3)y＝x；(4)y＝log2x.[思路点拨]解答本题可先将解析式化为基本初等函数，再利用公式求导．[精解详析](1)y′＝(x8)′＝8x7；(2)y′＝′＝(x－3)′＝－3·x－4＝－；(3)y′＝(x)′＝(x)′＝·x＝；(4)y′＝(log2x)′＝.[一点通]用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时应根据所给函数的特征，恰当地选择求导公式，有时需将题中函数的结构进行调整，如根式、分式转化为指数式，利用幂函数的求导公式求导．1．函数y＝sin的导数是________．解析：y＝sin＝cosx，所以y′＝－sinx.答案：－sinx2．下列结论中不正确的是________．①若y＝3，则y′＝0；②′＝cos；③′＝；④若y＝x，则y′＝1.解析：①正确；②sin＝，而()′＝0，不正确；对于③，′＝(－x－)′＝x－＝，正确；④正确．答案：②3．求下列函数的导函数．(1)y＝10x；(2)y＝logx；(3)y＝；(4)y＝2－1.解：(1)y′＝(10x)′＝10xln10；(2)y′＝(logx)′＝＝－；(3) y＝＝x，∴y′＝(x)′＝x－＝；(4) y＝(sin＋cos)2－1＝sin2＋2sincos＋cos2－1＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.求函数在某一点处的导数[例2]求函数f(x)＝在x＝1处的导数．[思路点拨]先求导函数，再求导数值．[精解详析] f(x)＝＝x－，∴f′(x)＝′＝x－，∴f′(1)＝－.[一点通]求函数在某点处的导数需要先对原函数进行化简，然后求导，最后将变量的值代入导函数便可求解．4．若函数f(x)＝，则f′(1)＝________.解析： f′(x)＝()′＝(x)′＝x－，∴f′(1)＝.答案：5．若函数f(x)＝sinx，则f′(6π)＝________.解析： f′(x)＝(sinx)′＝cosx.∴f′(6π)＝cos6π＝1.答案：16．已知f(x)＝且f′(1)＝－，求n.解：f′(x)＝′＝(x－)′＝－x－－1＝－x－，∴f′(1)＝－，由f′(1)＝－得－＝－，得n＝2.求切线方程[例3]已知曲线方程y＝x2，求：(1)曲线在点A(1,1)处的切线方程；(2)过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程．[思路点拨](1)点A在曲线上，故直接求导数，再求直线方程；(2)B点不在曲线上，故解答本题需先设出切点坐标，再利用导数的几何意义求出斜率，进而求出切点坐标，得到切线的方程．[精解详析](1)y′＝2x，当x＝1时，y′＝2，故过点A(1,1)的切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.(2) B(3,5)不在曲线y＝x2上，∴可设过B(3,5)与曲线y＝x2相切的直线与曲线的切点为(x0，y0)． y′＝2x，∴当x＝x0时，y′＝2x0.故切线方程为y－x＝2x0(x－x0)．又 直线过B(3,5)点，∴5－x＝2x0(3－x0)．即x－6x0＋5＝0.解得x0＝1或x0＝5.故切线方程为2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.[一点通](1)求切线方程是导数的应用之一，有两种情况：①求曲线在点P处的切线方程，P为切点，在曲线上；②求过点P与曲线相切的直线方程，P不一定为切点，不一定在曲线上．(2)求曲线上某点(x0，y0)处的切线方程的步骤：①求出f′(x0)，即切线斜率；②写出切线的点斜式方程；③化简切线方程．(3)求过点P与曲线相切的直线方程的步骤：①设出切点坐标为(x0，y0)；②写出切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)；③代入点P的坐标，求出方程．7．已知直线y＝x＋a与曲线y＝lnx相切，则a的值为________．解析：设切点为P(x0，y0)， y′＝，由题意得...