1.1.1函数的平均变化率1.1.2瞬时速度与导数学习目标核心素养1．理解函数平均变化率的概念，会求函数的平均变化率．(重点)2．理解瞬时变化率、导数的概念．(难点、易混点)3．会用导数的定义求函数的导数.1．通过函数平均变化率、瞬时变化率、导数概念的学习，培养学生的数学抽象素养．2．借助导数的定义求函数的导数，提升学生的数学运算素养.一、函数的平均变化率函数的平均变化率的定义一般地，已知函数y＝f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)，则当Δx≠0时，商＝称作函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx，x0])的平均变化率．二、瞬时速度与导数1．物体运动的瞬时速度设物体运动路程与时间的关系是s＝f(t)，当Δt趋近于0时，函数f(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变化率趋近于常数，我们把这个常数称为t0时刻的瞬时速度．2．函数的瞬时变化率设函数y＝f(x)在x0及其附近有定义，当自变量在x＝x0附近改变量为Δx时，函数值相应地改变Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，如果当Δx趋近于0时，平均变化率＝趋近于一个常数l，那么常数l称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率．记作：当Δx→0时，→l.还可以说：当Δx→0时，函数平均变化率的极限等于函数在x0的瞬时变化率l，记作lim＝l.3．函数f(x)在x＝x0处的导数函数y＝f(x)在点x0的瞬时变化率，通常称为f(x)在点x0处的导数，并记作f′(x0)，即f′(x0)＝lim.4．函数的导数如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)可导．这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x)．于是，在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数．记为f′(x)或y′(或y′x)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)Δx表示x2－x1，是相对于x1的一个增量，Δx的值可正可负，但不可为零．()(2)Δy表示f(x2)－f(x1)，Δy的值可正可负，也可以为零．()(3)表示曲线y＝f(x)上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率．()(4)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx的正、负无关．()(5)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上的变化快慢的物理量．()[答案](1)√(2)√(3)√(4)√(5)×2.如图，函数y＝f(x)在[1,3]上的平均变化率为()A．1B．－1C．2D．－2[解析]＝＝－1．[答案]B3．函数f(x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率是________________．[解析] f(x)＝x2，∴函数f(x)在x＝1处的瞬时变化率是lim＝lim＝lim＝lim(2＋Δx)＝2.[答案]2求函数的平均变化率【例1】(1)已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为()A．0.40B．0.41C．0.43D．0.44(2)已知函数f(x)＝x＋，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．[思路探究](1)由Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(2＋0.1)－f(2)可得．(2)→→[解析](1)Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝f(2.1)－f(2)＝2.12－22＝0.41．[答案]B(2)自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为＝＝；自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为＝＝.因为<，所以函数f(x)＝x＋在自变量x从3变到5时函数值变化得较快．1．求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1；第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)；第三步，求平均变化率＝.2．求平均变化率的一个关注点求点x0附近的平均变化率，可用的形式．1．函数y＝x2＋1在[1,1＋Δx]上的平均变化率是()A．2B．2xC．2＋ΔxD．2＋(Δx)2[解析] Δy＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋Δx2，∴＝＝2＋Δx，故选C.[答案]C求瞬时速度【例2】(1)以初速度v0(v0>0)垂直上抛的物体，t秒时的高度为s(t)＝v0t－gt2，则物体在t0时刻的瞬时速度为__________．(2)某物体的运动方程为s＝2t3，则物体在第t＝1时的瞬时速度是__________．[思路探究]先求出，再求lim.[解析](1) Δs＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－＝v0Δt－gt0Δt－gΔt2，∴＝v0－gt0－gΔt，∴lim＝v0－gt0，即t0时刻的瞬时速度为v0－gt0.(2) 当t＝1时，Δs＝2(1＋Δt)3－2×13＝2[1＋(Δt)3＋3Δt＋3(Δt)2]－2＝2＋2(Δt)3＋6Δt＋6(Δt)2－2＝2(Δt)3＋6(...
