1.1.3导数的几何意义学习目标核心素养1．理解导数的几何意义．(重点)2．能应用导数的几何意义解决相关问题．(难点)3．正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程．(易混点)1．通过导数的几何意义的学习，培养学生的数学抽象、直观想象素养．2．借助于求曲线的切线方程，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.导数的几何意义1．割线的斜率已知y＝f(x)图象上两点A(x0，f(x0))，B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))，过A，B两点割线的斜率是＝，即曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．2．导数的几何意义曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数f′(x0)的几何意义为曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同．()(2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．()(3)函数f(x)＝0没有导函数．()[解析](1)错．导函数的定义域和原函数的定义域可能不同，如f(x)＝x，其定义域为[0，＋∞)，而其导函数f′(x)＝，其定义域为(0，＋∞)．(2)错．直线与曲线相切时，直线与曲线的交点可能有多个．(3)错．函数f(x)＝0为常数函数，其导数f′(x)＝0，并不是没有导数．[答案](1)×(2)×(3)×2．已知函数y＝f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则f′(2)等于()A．1B．－1C．－3D．3[解析]由题意知f′(2)＝3.[答案]D3．已知函数f(x)在x0处的导数为f′(x0)＝1，则函数f(x)在x0处切线的倾斜角为__________．[解析]设切线的倾斜角为α，则tanα＝f′(x0)＝1，又α∈[0°，180°)，∴α＝45°.[答案]45°求曲线在某点处切线的方程【例1】已知曲线C：y＝x3.(1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？[思路探究](1)先求切点坐标，再求y′，最后利用导数的几何意义写出切线方程．(2)将切线方程与曲线C的方程联立求解．[解](1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，∴切点P(1,1)．y′＝lim＝lim＝lim[3＋3Δx＋(Δx)2]＝3.∴k＝3.∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.(2)由解得或从而求得公共点为P(1,1)或M(－2，－8)，即切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另一公共点(－2，－8)．1．利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤(1)求出函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)；(2)写出切线方程，即y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．特别注意：若在点(x0，y0)处切线的倾斜角为，此时所求的切线平行于y轴，所以直线的切线方程为x＝x0.2．曲线的切线与曲线的交点可能不止一个．1．若函数f(x)在点A(1,2)处的导数是－1，那么过点A的切线方程是__________．[解析]切线的斜率为k＝－1．∴点A(1,2)处的切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.[答案]x＋y－3＝0求切点坐标【例2】已知抛物线y＝2x2＋1．求：(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°？(2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?[思路探究]→→→[解]设切点的坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.∴＝4x0＋2Δx.∴f′(x0)＝lim(4x0＋2Δx)＝4x0.(1) 抛物线的切线的倾斜角为45°，∴斜率为tan45°＝1，即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝，该点为.(2) 抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，∴斜率为4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3)．上例中条件不变，求抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?[解] 抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，∴抛物线的切线的斜率为8.由上例知f′(x0)＝4x0＝8，∴x0＝2，y0＝9.即所求点的坐标为(2,9)．1．本题关键是由条件得到直线的斜率，从而得知函数在某点处的导数，进而求出切点的横坐标．2．根据切线斜率求切点坐标的步骤(1)设切点坐标(x0，y0)；(2)求导函数f′(x)；(3)求切线的斜率f′(x0)；(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0，得切点坐标．求曲线过某点的切线方程[探究问题]1．若函数y＝f(x)在点x0处的导数存在，则曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是什么？提示：根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．2．曲线...
