第1章三角函数第一课弧度制、任意角三角函数[巩固层·知识整合][提升层·题型探究]象限角及终边相同的角【例1】已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限角；(2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ∈.[解](1) －800°＝－3×360°＋280°，280°＝π，∴α＝－800°＝＋(－3)×2π. α与角终边相同，∴α是第四象限角．(2) 与α终边相同的角可写为2kπ＋，k∈Z的形式，而γ与α的终边相同，∴γ＝2kπ＋，k∈Z.又γ∈，∴－＜2kπ＋＜，k∈Z，解得k＝－1，∴γ＝－2π＋＝－.1．灵活应用角度制或弧度制表示角．(1)注意同一表达式中角度与弧度不能混用．(2)角度制与弧度制的换算设一个角的弧度数为α，角度数为n，则αrad＝°，n°＝rad.2．象限角的判定方法．(1)根据图象判定．利用图象实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．[跟进训练]1．在与角10030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最大的负角；(2)最小的正角．[解](1)与10030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10030°(k∈Z)．由－360°＜k·360°＋10030°＜0°，得－10390°＜k·360°＜－10030°，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.(2)由0°＜k·360°＋10030°＜360°，得－10030°＜k·360°＜－9670°，解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.弧度制下扇形弧长及面积公式的计算【例2】已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c(c＞0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？[解](1)设弧长为l，弓形面积为S弓， α＝60°＝，R＝10，∴l＝αR＝cm.S弓＝S扇－S△＝××10－×10×10×cos＝50cm2.(2)扇形周长c＝2R＋l＝2R＋αR，∴α＝，∴S扇＝αR2＝··R2＝(c－2R)R＝－R2＋cR＝－＋.当且仅当R＝，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是.弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略：1明确弧度制下弧长公式l＝|α|r，扇形的面积公式是其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角；2涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程组求解.[跟进训练]2．如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求弓形ACB的面积．[解] 120°＝π＝π，∴l＝6×π＝4π，∴的长为4π. S扇形OAB＝lr＝×4π×6＝12π，如图所示，作OD⊥AB，有S△OAB＝×AB×OD＝×2×6cos30°×3＝9.∴S弓形ACB＝S扇形OAB－S△OAB＝12π－9.∴弓形ACB的面积为12π－9.任意角三角函数的定义【例3】(1)若角α的终边上有一点P(－4，a)，且sinα·cosα＝，则a的值为()A．4B．±4C．－4或－D.(2)已知角α的终边经过点P(12m，－5m)(m≠0)，求sinα，cosα，tanα的值．(1)C[因为角α的终边上有一点P(－4，a)，所以tanα＝－，所以sinαcosα＝＝＝＝，整理得a2＋16a＋16＝0，(a＋4)(a＋4)＝0，所以a＝－4或－.](2)r＝＝13|m|，若m＞0，则r＝13m，α为第四象限角，sinα＝＝＝－，cosα＝＝＝，tanα＝＝＝－.若m＜0，则r＝－13m，α为第二象限角，sinα＝＝＝，cosα＝＝＝－，tanα＝＝＝－.利用定义求三角函数值的两种方法.1先由直线与单位圆相交求出交点坐标，再利用正弦、余弦、正切函数的定义，求出相应的三角函数值.2取角α的终边上任意一点Pa，b原点除外，则对应的角α的正弦值sinα＝，余弦值cosα＝，正切值tanα＝\f(b,a).当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.[跟进训练]3．已知角α的终边在直线y＝x上，求sinα，cosα，tanα值．[解]因为角α的终边在直线y＝x上，所以可设P(a，a)(a≠0)为角α终边上任意一点．则r＝＝2|a|(a≠0)．若a＞0，则α为第一象限角，r＝2a，所以sinα＝＝，cosα＝＝，tanα＝＝.若a＜0，则α为第三象限，r＝－2a，所以si...
