高中数学 第1章 三角函数 1.3.3 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象（第2课时）函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与性质讲义 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学教案VIP免费

第2课时函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质学习目标核心素养(教师独具)1.能由三角函数的图象求出解析式．(重点、易错点)2.掌握y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质．(重点)通过学习本节内容提升学生的直观想象和数学运算的核心素养.y＝Asin(ωx＋φ)的性质函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质如下：定义域R值域[－A，A]周期性T＝奇偶性φ＝kπ，k∈Z时是奇函数；φ＝＋kπ，k∈Z时是偶函数；当φ≠(k∈Z)时是非奇非偶函数单调性单调增区间可由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，k∈Z得到，单调减区间可由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，k∈Z得到1．最大值为，周期为，初相为的函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)解析式可以为________．y＝sin[由题意可知A＝，＝，∴ω＝6，又φ＝，故其解析式可以为y＝sin.]2．已知f(x)＝Asin(A＞0，ω＞0)在一个周期内，当x＝时，取得最大值2；当x＝时，取得最小值－2，则f(x)＝________.2sin[由题意可知，A＝2，又＝－＝，∴T＝π，∴ω＝＝2，∴f(x)＝2sin.]由图象求三角函数的解析式【例1】如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<的图象，求A，ω，φ的值，并确定其函数解析式．思路点拨：观察图象可知A＝3，对于ω，φ可由一个周期内的图象确定．[解]法一：(逐一定参法)1由图象知振幅A＝3，又T＝－＝π，∴ω＝＝2.由点，得－×2＋φ＝0，得φ＝，∴y＝3sin.法二：(待定系数法)由图象知A＝3，又图象过点和，根据五点作图法原理(以上两点可判为“五点法”中的第三点和第五点)，有解得∴y＝3sin.若设所求解析式为y＝Asinωx＋φ，则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ.1由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|.2由函数图象与x轴的交点确定T，由，确定ω.3确定函数y＝Asinωx＋φ的初相φ的值的两种方法①代入法：把图象上的一个已知点代入此时A，ω已知或代入图象与x轴的交点求解此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上.②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口.“五点”的ωx＋φ的值具体如下：“第一点”即图象上升时与x轴的交点为ωx＋φ＝0；“第二点”即图象的“峰点”为“第三点”即图象下降时与x轴的交点为ωx＋φ＝π；“第四点”即图象的“谷点”为“第五点”为ωx＋φ＝2π.③图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asinωx，再根据图象平移规律确定相关的参数.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的函数图象，如图所示，求该函数的一个解析式．[解]法一：(最值点法)由图象知函数的最大值为，最小值为－，又A>0，∴A＝.由图象知＝－＝，∴T＝π＝，∴ω＝2.又＝，∴图象上的最高点为，∴＝sin，即sin＝1，则＋φ＝＋2kπ，φ＝－＋2kπ，可取φ＝－，∴函数的一个解析式为y＝sin.法二：(五点对接法)由图象知A＝，又图象过点，，根据五点作图法原理(以上两点可判断为五点作图法中的第一点与第三点)得解得∴函数的一个解析式为y＝sin.法三：(图象变换法)由图可知A＝，＝－＝，∴T＝π＝，∴ω＝2.∴该函数的图象可由y＝sin2x的图象向右平移个单位长度得到，∴所求函数的一个解析式为y＝sin2，即y＝sin.y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质2[探究问题]1．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的奇偶性与哪个量有关？当其取何值时为偶函数？当其取何值时为奇函数？提示：函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的奇偶性与参数φ有关，当φ＝＋kπ，k∈Z时，其为偶函数，当φ＝kπ，k∈Z时，其为奇函数．2．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的对称轴方程如何表示，对称中心呢？提示：由ωx＋φ＝＋kπ，k∈Z，求对称轴方程，由ωx＋φ＝kπ，k∈Z，求对称中心．3．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，相邻对称轴之间相差多少个周期？相邻零点呢？提示：均相差半个周期．【例2】已知函数y＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<的图象过点P，图象上与P点最近的一个最高点的坐标为.求函数解析式．思路点拨：由图象过P和离P最近的最高点可求A、ω，由是最高点及|φ|<可求得φ的值．[解](1) 图象最高点的坐标为，∴A...