第1课时任意角的三角函数的定义学习目标核心素养1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．(重点、难点)2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号．(易错点)3.掌握公式——并会应用．1.借助单位圆给出任意角三角函数的定义，培养了学生数学抽象和数学建模的核心素养.2.通过利用三角函数定义及符号特点求值，提升了学生直观想象和数学运算的核心素养.1．任意角的三角函数的定义前提如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)定义正弦y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝y余弦x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝x正切叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数2.正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域三角函数定义域sinαRcosαRtanα3.正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号(1)图示：(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．4．诱导公式一1思考：终边相同的角的同名三角函数值一定相等吗？提示：一定相等．1．若角α的终边经过点P(2，3)，则有()A．sinα＝B．cosα＝C．sinα＝D．tanα＝C[这里x＝2，y＝3，则r＝＝，∴sinα＝，cosα＝，tanα＝，故选C.]2．已知sinα＞0，cosα＜0，则角α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角B[由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知，角α是第二象限角．]3．sinπ＝．[sinπ＝sin＝sin＝.]4．角α终边与单位圆相交于点M，则cosα＋sinα的值为．[cosα＝x＝，sinα＝y＝，故cosα＋sinα＝.]三角函数的定义及应用[探究问题]1．一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则sinα，cosα，tanα为何值？提示：sinα＝，cosα＝，tanα＝.2．sinα，cosα，tanα的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？提示：sinα，cosα，tanα的值只与α的终边位置有关，不随P点在终边上的位置的改变而改变．【例1】(1)已知角θ的终边上有一点P(x，3)(x＞0)，且cosθ＝x，求sinθ，tanθ的值为；(2)已知角α的终边落在直线x＋y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．思路点拨：(1)2→(2)→(1)，3[由三角函数定义知，cosθ＝＝＝x. x＞0，∴x＝1，∴r＝.∴sinθ＝，tanθ＝＝3.](2)[解]直线x＋y＝0，即y＝－x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，)，则r＝＝2，所以sinα＝，cosα＝－，tanα＝－；在第四象限取直线上的点(1，－)，则r＝＝2，所以sinα＝－，cosα＝，tanα＝－.1．将本例(1)中条件“x＞0”改为“x＜0”，结果如何？[解] x＜0，由＝x得x＝－1.∴sinθ＝，tanθ＝－3.2．将本例(1)中条件“x＞0”改为“x≠0”，结果又怎样？[解]因为r＝，cosθ＝，所以x＝，又x≠0，所以x＝±1，所以r＝.当x＝1时，sinθ＝，tanθ＝3，当x＝－1时，sinθ＝，tanθ＝－3.3．将本例(1)中“P(x，3)”改为“P(x，3x)”，且把“cosθ＝”去掉，结果又怎样？[解] x≠0，∴r＝＝|x|.当x＞0时，P在第一象限，θ为第一象限角，这时r＝x，则sinθ＝，cosθ＝，tanθ＝3.当x＜0时，P在第三象限，θ为第三象限角，这时r＝－x.则sinθ＝－，cosθ＝－，tanθ＝3.4．将本例(2)的条件“x＋y＝0”改为“y＝2x”其他条件不变，结果又如何？[解]当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P(1，2)，由r＝|OP|＝＝，得sinα＝＝，cosα＝＝，tanα＝＝2.当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q(－1，－2)，由r＝|OQ|＝＝，得：sinα＝＝－，cosα＝＝－，tanα＝＝2.由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤：(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．②在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)．则sinα＝，cosα＝.已知α的终边求α的三角函数时，用这几个公式更方便．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定注意对字母正、负的辨别，若正、负3未定，则需分类讨论．三角函数值符号的运用【例2】(1)...
