高中数学 《解三角形》教案（高考回归课本系列）新人教A版VIP免费

高考数学回归课本教案第七章解三角形一、基础知识在本章中约定用A，B，C分别表示△ABC的三个内角，a,b,c分别表示它们所对的各边长，2cbap为半周长。1．正弦定理：CcBbAasinsinsin=2R（R为△ABC外接圆半径）。推论1：△ABC的面积为S△ABC=.sin21sin21sin21BcaAbcCab推论2：在△ABC中，有bcosC+ccosB=a.推论3：在△ABC中，A+B=，解a满足)sin(sinabaa，则a=A.正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论1，由正弦函数定义，BC边上的高为bsinC，所以S△ABC=Cabsin21；再证推论2，因为B+C=-A，所以sin(B+C)=sinA，即sinBcosC+cosBsinC=sinA，两边同乘以2R得bcosC+ccosB=a；再证推论3，由正弦定理BbAasinsin，所以)sin()sin(sinsinAaAa，即sinasin(-A)=sin(-a)sinA，等价于21[cos(-A+a)-cos(-A-a)]=21[cos(-a+A)-cos(-a-A)]，等价于cos(-A+a)=cos(-a+A)，因为0<-A+a，-a+A<.所以只有-A+a=-a+A，所以a=A，得证。2．余弦定理：a2=b2+c2-2bccosAbcacbA2cos222，下面用余弦定理证明几个常用的结论。（1）斯特瓦特定理：在△ABC中，D是BC边上任意一点，BD=p，DC=q，则AD2=.22pqqpqcpb（1）【证明】因为c2=AB2=AD2+BD2-2AD·BDcosADB，所以c2=AD2+p2-2AD·pcos.ADB①同理b2=AD2+q2-2AD·qcosADC，②因为ADB+ADC=，所以cosADB+cosADC=0，所以q×①+p×②得qc2+pb2=(p+q)AD2+pq(p+q)，即AD2=.22pqqpqcpb用心爱心专心1注：在（1）式中，若p=q，则为中线长公式.222222acbAD（2）海伦公式：因为412ABCSb2c2sin2A=41b2c2(1-cos2A)=41b2c21614)(1222222cbacb[(b+c)2-a2][a2-(b-c)2]=p(p-a)(p-b)(p-c).这里.2cbap所以S△ABC=).)()((cpbpapp二、方法与例题1．面积法。例1（共线关系的张角公式）如图所示，从O点发出的三条射线满足QORPOQ,，另外OP，OQ，OR的长分别为u,w,v，这里α，β，α+β∈(0,)，则P，Q，R的共线的充要条件是.)sin(sinsinwvu【证明】P，Q，R共线ORQOPQOPRΔPQRSSSS0sin21uv(α+β)=21uwsinα+21vwsinβvuwsinsin)sin(，得证。2．正弦定理的应用。例2如图所示，△ABC内有一点P，使得BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB。求证：AP·BC=BP·CA=CP·AB。【证明】过点P作PDBC，PEAC，PFAB，垂足分别为D，E，F，则P，D，C，E；P，E，A，F；P，D，B，F三组四点共圆，所以EDF=PDE+PDF=PCA+PBA=BPC-BAC。由题设及BPC+CPA+APB=3600可得BAC+CBA+ACB=1800。所以BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB=600。所以EDF=600，同理DEF=600，所以△DEF是正三角形。所以DE=EF=DF，由正弦定理，CDsinACB=APsinBAC=BPsinABC，两边同时乘以△ABC的外接圆直径2R，得CP·BA=AP·BC=BP·AC，得证：例3如图所示，△ABC的各边分别与两圆⊙O1，⊙O2相切，直线GF与DE交于P，求证：PABC。【证明】延长PA交GD于M，因为O1GBC，O2DBC，所以只需证.21AEAFAOAOMDGM用心爱心专心2由正弦定理sin)2sin(,sin)1sin(AEPAAFAP，所以.sinsin2sin1sinAFAE另一方面，2sinsin,1sinsinPMMDPMGM，所以sinsin1sin2sinMDGM，所以AEAFMDGM，所以PA//O1G，即PABC，得证。3．一个常用的代换：在△ABC中，记点A，B，C到内切圆的切线长分别为x,y,z，则a=y+z,b=z+x,c=x+y.例4在△ABC中，求证：a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤3abc.【证明】令a=y+z,b=z+x,c=x+y，则abc=(x+y)(y+z)(z+x)zxyzxy8=8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)=a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)-2abc.所以a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤3abc.4．三角换元。例5设a,b,c∈R+，且abc+a+c=b，试求131212222cbaP的最大值。【解】由题设bacca1，令a=tanα,c=tanγ,b=tanβ,则tanβ=tan(α+γ),P=2sinγsin(2α+γ)+3cos2γ≤31031031sin32，当且仅当α+β=2，sinγ...