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高中数学 《平面向量》教案(高考回归课本系列)新人教A版VIP免费

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高考数学回归课本教案平面向量一、基础知识定义1既有大小又有方向的量,称为向量。画图时用有向线段来表示,线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头,或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量,如a.|a|表示向量的模,模为零的向量称为零向量,规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同,模为1的向量称为单位向量。定义2方向相同或相反的向量称为平行向量(或共线向量),规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。定理1向量的运算,加法满足平行四边形法规,减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。定理2非零向量a,b共线的充要条件是存在实数0,使得a=.bf定理3平面向量的基本定理,若平面内的向量a,b不共线,则对同一平面内任意向是c,存在唯一一对实数x,y,使得c=xa+yb,其中a,b称为一组基底。定义3向量的坐标,在直角坐标系中,取与x轴,y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,任取一个向量c,由定理3可知存在唯一一组实数x,y,使得c=xi+yi,则(x,y)叫做c坐标。定义4向量的数量积,若非零向量a,b的夹角为,则a,b的数量积记作a·b=|a|·|b|cos=|a|·|b|cos,也称内积,其中|b|cos叫做b在a上的投影(注:投影可能为负值)。定理4平面向量的坐标运算:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),1.a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),2.λa=(λx1,λy1),a·(b+c)=a·b+a·c,3.a·b=x1x2+y1y2,cos(a,b)=222221212121yxyxyyxx(a,b0),4.a//bx1y2=x2y1,abx1x2+y1y2=0.定义5若点P是直线P1P2上异于p1,p2的一点,则存在唯一实数λ,使21PPPP,λ叫P分21PP所成的比,若O为平面内任意一点,则121OPOPOP。由此可得若P1,P,P2的坐标分别为(x1,y1),(x,y),(x2,y2),则..1121212121yyyyxxxxyyyxxx定义6设F是坐标平面内的一个图形,将F上所有的点按照向量a=(h,k)的方向,平移|a|=22kh个单位得到图形'F,这一过程叫做平移。设p(x,y)是F上任意一点,平移到'F上对应的点为)','('yxp,则kyyhxx''称为平移公式。用心爱心专心定理5对于任意向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),|a·b|≤|a|·|b|,并且|a+b|≤|a|+|b|.【证明】因为|a|2·|b|2-|a·b|2=))((22222121yxyx-(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2≥0,又|a·b|≥0,|a|·|b|≥0,所以|a|·|b|≥|a·b|.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.注:本定理的两个结论均可推广。1)对n维向量,a=(x1,x2,…,xn),b=(y1,y2,…,yn),同样有|a·b|≤|a|·|b|,化简即为柯西不等式:))((2222122221nnyyyxxx(x1y1+x2y2+…+xnyn)2≥0,又|a·b|≥0,|a|·|b|≥0,所以|a|·|b|≥|a·b|.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.注:本定理的两个结论均可推广。1)对n维向量,a=(x1,x2,…,xn),b=(y1,y2,…,yn),同样有|a·b|≤|a|·|b|,化简即为柯西不等式:))((2222122221nnyyyxxx(x1y1+x2y2+…+xnyn)2。2)对于任意n个向量,a1,a2,…,an,有|a1,a2,…,an|≤|a1|+|a2|+…+|an|。二、方向与例题1.向量定义和运算法则的运用。例1设O是正n边形A1A2…An的中心,求证:.21OOAOAOAn【证明】记nOAOAOAS21,若OS,则将正n边形绕中心O旋转n2后与原正n边形重合,所以S不变,这不可能,所以.OS例2给定△ABC,求证:G是△ABC重心的充要条件是.OGCGBGA【证明】必要性。如图所示,设各边中点分别为D,E,F,延长AD至P,使DP=GD,则.2GPGDAG又因为BC与GP互相平分,所以BPCG为平行四边形,所以BG//PC,所以.CPGB所以.OPGCPGCGCGBGA充分性。若OGCGBGA,延长AG交BC于D,使GP=AG,连结CP,则.PGGA因为OPCPGGC,则PCGB,所以GB//CP,所以AG平分BC。同理BG平分CA。所以G为重心。例3在凸四边形ABCD中,P和Q分别为对角线BD和AC的中点,求证:AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。用心爱心专心【证明】如图所示,结结BQ,QD。因为DQPQDPBQPQBP,,所以2222)()(PQDPPQBPDQBQ=BPPQDPB...

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