高中数学 2.4《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》教案 新人教A版必修4VIP免费

第二章平面向量第9课时三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目的：⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式.⑶能用所学知识解决有关综合问题.教学重点：平面向量数量积的坐标表示教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab=|a||b|cos，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.3．向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.4．两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.1ea=ae=|a|cos；2abab=03当a与b同向时，ab=|a||b|；当a与b反向时，ab=|a||b|.特别的aa=|a|2或aaa||4cos=||||baba；5|ab|≤|a||b|5．平面向量数量积的运算律交换律：ab=ba数乘结合律：(a)b=(ab)=a(b)分配律：(a+b)c=ac+bc1C二、讲解新课：⒈平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11yxa，),(22yxb，试用a和b的坐标表示ba.设i是x轴上的单位向量，j是y轴上的单位向量，那么jyixa11，jyixb22所以))((2211jyixjyixba2211221221jyyjiyxjiyxixx又1ii，1jj，0ijji，所以ba2121yyxx这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即ba2121yyxx2.平面内两点间的距离公式一、设),(yxa，则222||yxa或22||yxa.（2）如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11yx、),(22yx，那么221221)()(||yyxxa(平面内两点间的距离公式)二、向量垂直的判定设),(11yxa，),(22yxb，则ba02121yyxx三、两向量夹角的余弦（0）cos=||||baba222221212121yxyxyyxx四、讲解范例：五、设a=(5，7)，b=(6，4)，求a·b及a、b间的夹角θ(精确到1o)例2已知A(1，2)，B(2，3)，C(2，5)，试判断△ABC的形状，并给出证明.例3已知a=(3，1)，b=(1，2)，求满足xa=9与xb=4的向量x.解：设x=(t，s)，由429349ststbxax32st∴x=(2，3)例4已知a＝（１，3），b＝（3＋１，3－１），则a与b的夹角是多少?分析：为求a与b夹角，需先求a·b及｜a｜·｜b｜，再结合夹角θ的范围确定其值.2解：由a＝（１，3），b＝（3＋１，3－１）有a·b＝3＋１＋3（3－１）＝４，｜a｜＝２，｜b｜＝２2．记a与b的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝22baba又∵０≤θ≤π，∴θ＝4评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.例5如图，以原点和A(5，2)为顶点作等腰直角△OAB，使B=90，求点B和向量AB的坐标.解：设B点坐标(x，y)，则OB=(x，y)，AB=(x5，y2)∵OBAB∴x(x5)+y(y2)=0即：x2+y25x2y=0又∵|OB|=|AB|∴x2+y2=(x5)2+(y2)2即：10x+4y=29由2723232729410025221122yxyxyxyxyx或∴B点坐标)23,27(或)27,23(；AB=)27,23(或)23,27(例6在△ABC中，AB=(2，3)，AC=(1，k)，且△ABC的一个内角为直角，求k值.解：当A=90时，ABAC=0，∴2×1+3×k=0∴k=23当B=90时，ABBC=0，BC=ACAB=(12，k3)=(1，k3)∴2×(1)+3×(k3)=0∴k=311当C=90时，ACBC=0，∴1+k(k3)=0∴k=21333六、课堂练习：1.若a=(-4，3)，b=(5，6)，则3|a|２－４a·b＝（）A.23B.57C.63D.832.已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，则△ABC为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不等边三角形3.已知a=(4，3)，向量b是垂直a的单位向量，则b等于（）A.)54,53(或)53,54(B.)54,53(或)54,53(C.)54,53(或)53,54(D.)54,53(或)54,53(4.a=(2，3)，b=(-2，4)，则(a+b)·(a-b)=.5.已知A(3，2)，B(-1，-1)，若点P(x，-21)在线段AB的中垂线上，则x=.6.已知A(1，0)，B(3，1)，C(2，0)，且a=BC，b=CA，则a与b的夹角为.七、小结（略）八、课后作业（略）九、板书设计（略）十、课后记：4