2.2.2反证法教学要求:结合已经学过的数学实例,了解间接证明的一种基本方法——反证法;了解反证法的思考过程、特点.教学重点:会用反证法证明问题;了解反证法的思考过程.教学难点:根据问题的特点,选择适当的证明方法.教学过程:一、复习准备:1.讨论:三枚正面朝上的硬币,每次翻转2枚,你能使三枚反面都朝上吗?(原因:偶次)2.提出问题:平面几何中,我们知道这样一个命题:“过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆”.讨论如何证明这个命题?3.给出证法:先假设可以作一个⊙O过A、B、C三点,则O在AB的中垂线l上,O又在BC的中垂线m上,即O是l与m的交点。但∵A、B、C共线,∴l∥m(矛盾)∴过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆.二、讲授新课:1.教学反证法概念及步骤:①练习:仿照以上方法,证明:如果a>b>0,那么ba②提出反证法:一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立.证明基本步骤:假设原命题的结论不成立→从假设出发,经推理论证得到矛盾→矛盾的原因是假设不成立,从而原命题的结论成立应用关键:在正确的推理下得出矛盾(与已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实矛盾等).方法实质:反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的,即由一个命题与其逆否命题同真假,通过证明一个命题的逆否命题的正确,从而肯定原命题真实.注:结合准备题分析以上知识.2.教学例题:①出示例1:求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.分析:如何否定结论?→如何从假设出发进行推理?→得到怎样的矛盾?与教材不同的证法:反设AB、CD被P平分,∵P不是圆心,连结OP,则由垂径定理:OPAB,OPCD,则过P有两条直线与OP垂直(矛盾),∴不被P平分.②出示例2:求证3是无理数.(同上分析→板演证明,提示:有理数可表示为/mn)证:假设3是有理数,则不妨设3/mn(m,n为互质正整数),从而:2(/)3mn,223mn,可见m是3的倍数.设m=3p(p是正整数),则22239nmp,可见n也是3的倍数.这样,m,n就不是互质的正整数(矛盾).∴3/mn不可能,∴3是无理数.③练习:如果1a为无理数,求证a是无理数.提示:假设a为有理数,则a可表示为/pq(,pq为整数),即/apq.由1()/apqq,则1a也是有理数,这与已知矛盾.∴a是无理数.3.小结:反证法是从否定结论入手,经过一系列的逻辑推理,导出矛盾,从而说明原结论正确.注意证明步骤和适应范围(“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的问题)OABCDP三、巩固练习:1.练习:教材P541、2题2.作业:教材P54A组3题.