不等式的应用（1）——方程根的讨论·教案教学目标1．能应用不等式的有关知识，对一元二次方程的实根分布进行讨论．2．借助二次函数的图象进行实根分布的讨论，培养学生数形结合的思想．3．能将实根分布等价转化为不等式（组）的求解问题，体现等价转化的数学思想．教学重点与难点重点：借助二次函数的图象将一元二次方程实根分布的条件等价转化为由方程或不等式组成的条件组．难点：寻求实根分布条件的等价转化．教学过程设计（一）引入新课师：前阶段我们研究了不等式的性质，不等式的解法以及不等式的证明．现在我们一起研究不等式在方程根的讨论问题上的应用．（板书：不等式的应用——方程根的讨论）师：请同学们思考此题的解法．（出示小黑板或投影幻灯片）练习：实数m取何值时，方程x2＋2mx+2m2－3=0①有：（1）两个正根？（2）一个正根，一个负根？（教师巡视后，发现学生中的不同解法，肯定正确方法，纠正偏差）生乙：（1）由一元二次方程根与系数的关系可知：方程（1）有两个正根的充要条件是：①有两个正根．（2）方程①有一个正根，一个负根的充要条件是：2m2-3＜0．解师：本题有多种不同的解法：生甲应用求根公式；生乙应用根与系数的关系（韦达定理）．不难看出，方程的实根分布问题的讨论可以等价转化为解不等式（组），但是不等式（组）是否与原命题等价是解题正确与否的关键．①有两个正根要在判别式Δ≥0的前提条件下，才能利用一元二次方程根与系数关系转化为字母系数的不等式组，（板书）方程ax2＋bx+c=0（a，b，c∈R，a≠0）．师：由于一元二次方程，一元二次不等式与二次函数三者有着密切的联系，是否可以考虑应用二次函数的图象与性质？（二）讨论生：一元二次方程的实根是相应的二次函数的图象与x轴的交点的横坐标，讨论一元二次方程实根的分布问题可转化为讨论二次函数的图象与x轴的交点的位置问题．师：不妨设y=f（x）=x2+2mx＋2m2-3，这是二次函数，其图象是开口向上的抛物线（如图5-6），若方程①有两个正根，即抛物线y=f（x）与x轴正半轴有两个交点，或与x轴正半轴相切，其充要条件是什么？生：首先判别式Δ≥0，这样可以保证抛物线与x轴有两个交点，或与x轴相切．师：满足Δ≥0的条件，如图5-7抛物线与x轴的两个交点，一个在x轴正半轴上，而另一个在x轴负轴上．可这两个交点应都在x轴正半轴上．生：图5-6与图5-7比较发现，抛物线与y轴的交点应在正半轴上，即在y轴上的截距大于0．师：如何计算抛物线在y轴上的截距？生：抛物线在y轴上的截距为f（0），因此f（0）＞0．或与x轴正半轴相切的充要条件？如图5-8．师：比较图5-6与图5-8，寻找其差别之处，还应添加什么条件？生：两图象的主要不同之处在于对称轴的位置不同，图5-6所示抛物线的对称轴在y轴右侧，而图5-8所示抛物线的对称轴在y轴左侧，因此在条件中应添加对称轴x=-m＞0的条件．师：这样我们就得到了抛物线y=f（x）＝x2＋2mx＋2m2-3与x轴正半轴有两个交点，或与x轴正半轴相切，即方程x2＋2mx＋2m2-3=0，有两个正根的充要条件是：师：若方程①有一个正根，一个负根，抛物线与x轴的交点位置又如何？其所对等价条件应考虑几方面？生：若方程①有一个正根，一个负根，抛物线y=f（x）与x轴有两个交点，分别位于原点的两侧．如图5-9首先应考虑判别式Δ＞0，还需考虑抛物线在y轴上的截距小于0，即f（0）＜0．师：当f（0）＜0时，请同学们试一试抛物线y=f（x）与x轴是否一定有两个交点？并且这两个交点是否一定位于原点的两侧？（要教给学生思考问题的方法，即原命题与其逆否命题是等价命题．因此，只须考虑抛物线y=f（x）与x轴没有两个交点（包括无交点和一个交点的两种情况）时，f（0）≥0是否成立；这两个交点位于原点的同侧或有一点在原点上，f（0）≥0是否成立．这样，学生就可以通过作图，直观得出结论，既省去了繁琐的证明过程，又培养了数形结合的思想，可谓一举两得．学生不难得出以下5种图形，（如图5-10～5-14），从而得出肯定的结论）（板书）师：因此，抛物线y=f（x）=x2＋2mx＋2m2-3．与x轴有两个交点，且分别位于原点两侧，即方程x2＋2mx＋2m2-3=0，有一个正根，一个负根的充要条件是：...
