在“常微分方程”教学中融入数学建模思想的探讨廉海荣，赵俊芳，褚宝增中国地质大学（北京）信息工程学院，北京100083摘要：以激发学生的求知欲望和创新精神为目标，本文在教学实践的基础上,探讨了在“常微分方程”教学中融入数学建模思想的方法和途径。笔者通过适当引入常微分方程模型案例，注重理论和应用相结合,加强计算机软件和实际算法实现等,进一步发挥常微分方程对提高大学生数学思维能力和数学应用能力的重要作用。关键词：常微分方程；数学建模；思想一、“常微分方程”教学中融入数学建模思想的意义恩格斯说过“只有微分学才使得自然科学不仅能用数学来表明状态，而且也能用数学来表明过程，即运动[1]。”常微分方程源于对物体运动过程研究，它的雏形甚至比微积分的发明还要早。像纳皮尔发明对数，伽略研究自由落体运动，笛卡儿在光学问题中由切线性质定出镜面的形状等，都是建立和求解常微分方程的过程[2]。常微分方程在自然科学和社会科学领域如力学、物理、生物、地学、机械工程、通讯工程、航空航天及经济学等中都有着广泛的应用。近几十年来,随着动力系统及非线性科学的迅猛发展，常微分方程的理论和方法得不断扩充和完善。而社会上越来越需要一批将常微分方程的新理论和新方法应用到工程实践中的应用数学人才，这对“常微分方程”教学提出了新的要求[3]。另一方面，“常微分方程”在学数学学科课程设置中是“数学分析”和“高等代”的后续课程，又是“数学物理方程”、“数值计”、“控制理论”、“变分学”等课程的先修课程，因此，数学本科教学中，它有着特定的位置。“常微分方程”作为一门理论体系严谨的数学专课，在讲授时，有必要结合其广泛的应用背景和应用前景，顺应时代要求，以培养具有应用数学能力和创新能力的专业人才为首要目标。如何加强培养学生的应用数学能力和创新思维呢？全国高等院校数学课程指导委员会提出的“加强对学生建立数学型并利用计算机分析处理实际问题能力的培养和训练”是一个有效方法[4]。数学建模是运用数学工具将理论知识和实际问题相结合，通过分析建立数学结构，解释现实现象，预测未来发展，优化控制，从而科学地指导社会生产和生活。将数学建模思想融入到“常微分方程”教学中，不仅可以使学生了解常微分方建立的背景、途径和实际意义，活跃了抽象的动力模型理论讨论，而且还能帮助学生将常微分方程与计算机结合，提高学生的数学建模能力。总之，在“常微分方程”教学中融入数学建模思想意义深远，这一教学改革非常必要。二、如何在“常微分方程”教学中融入数学建模思想在“常微分方程”教学中融入数学建模思想，主要通在课程中适当引入常微分方程模型以培养学生的建模思维。模型的选取、讲解和分析宜精巧适度。1.常微分方程模型内容的选取在“常微分方程”教学中融入的每一个数学模型都应反出常微分方程知识的本质，通过讲解这些模型让学生对常微分方程的知识点有充分的认识和理解，激发他们学习常微分方程的兴趣。考虑到学生的心理特征和认知水平，模型的选取应具有时代性、实际性和适应性。模型内容不要求面面俱到但要重点突。例如，在讲常微分方程通解和特解的基本概念时，可以介绍自由落体运动，而使学生自然地理解常微分方程定解问题的概念；在讲一阶常微分方程求解时引入跟踪模型(变量分离法)，RL串联电路(线性微分方程和常数变易法)，探照等反光镜(变量替换)，捕食-被捕食模型(数值分析)等，会令用初等积分法求解常微分方程变得有声有色，有血有肉；在讲高阶常微分方程时选讲历史上著名的追线模型，如有引力定律、弹簧强迫振动模型(降阶求解及动力系统型)；在介绍常微分方程定性和稳定性理论时，可以继续分析食-被捕食模型(定性分析)等。模型选取不能喧宾夺主，且要起到点睛的作用，把抽象的常微分方程理论和方法变得有章可循，激发学生学习常微分方程的兴趣。2.讲授模型中渗透数学建模思想在讲授常微分方程模型时，要强调如何用数学语言描述和简化实际问题，利用了什么原理建立了常微分方程模型，如何求解和应用模型分析实际问题，即实际问题→常微分方程→求解→结果分析→模型改进→实际应用”的全过程。当然，...
